Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que
T((-1,-1,0))=(-4,-3,-3) T((-1,-2,0))=(10,8,7)
e
T((-1,-2,1))=(0,0,0)
Determine o núcleo de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 e precisa encontrar o núcleo dessa transformação, ou seja, todos os vetores v em R^3 que, quando aplicamos T , dão o vetor zero. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que respeita duas operações básicas: adição de vetores e multiplicação por escalar. Além disso, qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. Nosso objetivo é encontrar essa matriz para depois determinar o núcleo.

Passo 3

Vamos supor que a matriz da transformação T seja:
A = a & b & c d & e & f g & h & k
Isso significa que para qualquer vetor x y z , temos:
T( x y z ) = A x y z = a x + b y + c z d x + e y + f z g x + h y + k z

Passo 4

Agora, vamos usar as informações dadas no enunciado para encontrar os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, k . Sabemos que:
T( -1 -1 0 ) = -4 -3 -3
Isso nos dá o sistema de equações:
- a - b + 0 cdot c = -4 - d - e + 0 cdot f = -3 - g - h + 0 cdot k = -3
Simplificando:
a + b = 4 d + e = 3 g + h = 3

Passo 5

Também temos que:
T( -1 -2 0 ) = 10 8 7
Isso nos dá:
- a - 2 b + 0 cdot c = 10 - d - 2 e + 0 cdot f = 8 - g - 2 h + 0 cdot k = 7
Simplificando:
a + 2b = -10 d + 2e = -8 g + 2h = -7

Passo 6

E também:
T( -1 -2 1 ) = 0 0 0
Isso nos dá:
- a - 2 b + c = 0 - d - 2 e + f = 0 - g - 2 h + k = 0
Simplificando:
a + 2b - c = 0 d + 2e - f = 0 g + 2h - k = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver os sistemas de equações para encontrar os valores de [a, b, c, d, e, f, g, h, k).
Primeiro, para e :
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, (a = 4 - b = 18].
Para [d) e :
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, (d = 3 - e = 14].
Para [g) e :
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, (g = 3 - h = 13].

Passo 8

Agora, vamos encontrar c, f, k usando as últimas equações.
Para c :
a + 2b - c = 0 Rightarrow 18 + 2(-14) - c = 0 Rightarrow 18 - 28 - c = 0 Rightarrow -10 - c = 0 Rightarrow c = -10
Para f :
d + 2e - f = 0 Rightarrow 14 + 2(-11) - f = 0 Rightarrow 14 - 22 - f = 0 Rightarrow -8 - f = 0 Rightarrow f = -8
Para k :
g + 2h - k = 0 Rightarrow 13 + 2(-10) - k = 0 Rightarrow 13 - 20 - k = 0 Rightarrow -7 - k = 0 Rightarrow k = -7

Passo 9

Agora que temos todos os elementos da matriz A :
A = 18 & -14 & -10 14 & -11 & -8 13 & -10 & -7
Para encontrar o núcleo de T , precisamos resolver A x y z = 0 0 0 .

Passo 10

Vamos montar o sistema de equações:
18x -14y -10z = 0 14x -11y -8z = 0 13x -10y -7z = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar x, y, z .

Passo 11

Podemos simplificar o sistema dividindo as equações por seus respectivos fatores para facilitar:
Primeira equação: dividir por 2:
9x -7y -5z = 0 (1)
Segunda equação: dividir por 1:
14x -11y -8z = 0 (2)
Terceira equação: dividir por 1:
13x -10y -7z = 0 (3)

Passo 12

Agora, vamos usar o método de eliminação. Vamos multiplicar a equação (1) por 14 e a equação (2) por 9 para eliminar x :
14 times (1): 126x -98y -70z = 0 (1a)
9 times (2): 126x -99y -72z = 0 (2a)
Subtraindo (1a) de (2a):
0x + y + 2z = 0 Rightarrow y = -2z (4)

Passo 13

Agora, fazemos o mesmo para eliminar x entre as equações (1) e (3). Multiplicamos a equação (1) por 13 e a equação (3) por 9:
13 times (1): 117x -91y -65z = 0 (1b)
9 times (3): 117x -90y -63z = 0 (3a)
Subtraindo (1b) de (3a):
0x + y + 2z = 0 Rightarrow y = -2z (5)

Passo 14

Vemos que ambas as equações (4) e (5) chegam à mesma relação: y = -2z .
Agora, substituímos y = -2z na equação (1):
9x -7(-2z) -5z = 0 Rightarrow 9x +14z -5z = 0 Rightarrow 9x +9z = 0 Rightarrow x = -z

Passo 15

Então, temos:
x = -z y = -2z
Podemos expressar x e y em termos de z . Vamos chamar z = t , onde t é um número real.
Então:
x = -t y = -2t z = t

Passo 16

Portanto, todos os vetores no núcleo de T são da forma:
- t -2 t t = t -1 -2 1
Onde t é qualquer número real.

Resposta

O núcleo de T é o conjunto de todos os vetores múltiplos de (-1, -2, 1) . Ou seja,
Núc<=o(T) = t -1 -2 1 , g| , t in R ú

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