Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear e precisa encontrar o núcleo dessa transformação, ou seja, todos os vetores em que, quando aplicamos , dão o vetor zero. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que respeita duas operações básicas: adição de vetores e multiplicação por escalar. Além disso, qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. Nosso objetivo é encontrar essa matriz para depois determinar o núcleo.
Passo 3
Vamos supor que a matriz da transformação seja:
Isso significa que para qualquer vetor x y z , temos:
T( x y z ) = A x y z = a x + b y + c z d x + e y + f z g x + h y + k z
Passo 4
Agora, vamos usar as informações dadas no enunciado para encontrar os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, k . Sabemos que:
T( -1 -1 0 ) = -4 -3 -3
Isso nos dá o sistema de equações:
- a - b + 0 cdot c = -4 - d - e + 0 cdot f = -3 - g - h + 0 cdot k = -3
Simplificando:
a + b = 4 d + e = 3 g + h = 3
Passo 5
Também temos que:
T( -1 -2 0 ) = 10 8 7
Isso nos dá:
- a - 2 b + 0 cdot c = 10 - d - 2 e + 0 cdot f = 8 - g - 2 h + 0 cdot k = 7
Simplificando:
a + 2b = -10 d + 2e = -8 g + 2h = -7
Passo 6
E também:
T( -1 -2 1 ) = 0 0 0
Isso nos dá:
- a - 2 b + c = 0 - d - 2 e + f = 0 - g - 2 h + k = 0
Simplificando:
a + 2b - c = 0 d + 2e - f = 0 g + 2h - k = 0
Passo 7
Agora, vamos resolver os sistemas de equações para encontrar os valores de [a, b, c, d, e, f, g, h, k).
Primeiro, para e :
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, (a = 4 - b = 18].
Para [d) e :
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, (d = 3 - e = 14].
Para [g) e :
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, (g = 3 - h = 13].
Passo 8
Agora, vamos encontrar c, f, k usando as últimas equações.
Para c :
a + 2b - c = 0 Rightarrow 18 + 2(-14) - c = 0 Rightarrow 18 - 28 - c = 0 Rightarrow -10 - c = 0 Rightarrow c = -10
Para f :
d + 2e - f = 0 Rightarrow 14 + 2(-11) - f = 0 Rightarrow 14 - 22 - f = 0 Rightarrow -8 - f = 0 Rightarrow f = -8
Para k :
g + 2h - k = 0 Rightarrow 13 + 2(-10) - k = 0 Rightarrow 13 - 20 - k = 0 Rightarrow -7 - k = 0 Rightarrow k = -7
Passo 9
Agora que temos todos os elementos da matriz A :
A = 18 & -14 & -10 14 & -11 & -8 13 & -10 & -7
Para encontrar o núcleo de T , precisamos resolver A x y z = 0 0 0 .