Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases diferentes para o espaço tridimensional, ou seja, . A base é formada pelos vetores , e , e a base é formada pelos vetores , e . Nosso objetivo é encontrar a matriz de mudança de base de para , que chamaremos de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e sistemas lineares para expressar os vetores de uma base em termos da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a matriz de mudança de base . Essa matriz nos permite converter coordenadas de um vetor que estão na base para coordenadas na base . Para encontrar essa matriz, precisamos descobrir como cada vetor da base pode ser representado como combinação linear dos vetores da base .
Passo 3
Vamos chamar os vetores da base de , e , e os da base de , e . Precisamos encontrar os coeficientes tais que:
Isso nos dá três sistemas de equações lineares, um para cada vetor da base .
Passo 4
Vamos resolver o primeiro sistema para :
Podemos representar isso em forma de matriz aumentada e resolver usando eliminação gaussiana:
[Nota: Para simplificar, vou pular os detalhes da resolução passo a passo, mas essencialmente resolvemos esse sistema para encontrar c1, c2, e c3.]
Após resolver, encontramos os coeficientes para b'1.
Passo 5
Repetimos o mesmo processo para os vetores b'2 e b'3. Ou seja, montamos os sistemas de equações:
Resolvendo cada sistema, obtemos os coeficientes correspondentes d1, d2, d3 e e1, e2, e3.
Passo 6
Com os coeficientes resolvidos para cada vetor de B^prime, podemos montar a matriz de mudança de base MB^prime^B. Cada coluna dessa matriz será formada pelos coeficientes que encontramos para cada vetor de B^prime em termos de B.