Esboce o conjunto dos pares
do produto cartesiano
para o seguinte caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o conjunto de pares
no plano cartesiano
que satisfazem a condição
. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente tratando de equações e representações gráficas no plano. Para resolver isso, vamos explorar o que significa
e como isso se traduz em gráficos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
quer dizer. O símbolo
representa o valor absoluto, que essencialmente dá a magnitude de um número sem considerar o seu sinal. Então,
significa que a distância de
até zero no eixo
é igual à distância de
até zero no eixo
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para encontrar as possíveis relações entre
e
. Sabemos que o valor absoluto de um número é igual se os números forem iguais ou se forem opostos.
Então, temos duas possibilidades:
Passo 4
Agora, vamos interpretar essas duas equações no plano cartesiano:
-
: Esta é a equação de uma reta que passa pela origem (0,0) e faz um ângulo de 45 graus com os eixos e . Todos os pontos onde o valor de é igual ao de estarão nessa linha. -
: Esta é a equação de uma reta que também passa pela origem, mas faz um ângulo de 135 graus com o eixo . Aqui, o valor de é o oposto de , então os pontos nessa linha terão negativo quando for positivo e vice-versa.
Passo 5
Para esboçar o conjunto desses pares
, desenhamos as duas retas no plano cartesiano:
- A reta
vai do canto inferior esquerdo ao canto superior direito. - A reta
vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito.
Essas duas retas se intersectam na origem e formam um “X” no meio do plano.
Resposta
O conjunto dos pares
que satisfazem
corresponde às retas
e
no plano cartesiano. Ou seja, o gráfico é formado pelas duas linhas que se cruzam na origem formando um “X”.