Esboce o conjunto dos pares (x, y) do produto cartesiano R^2 para o seguinte caso:
|x|=|y|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o conjunto de pares (x, y) no plano cartesiano R^2 que satisfazem a condição |x| = |y|. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente tratando de equações e representações gráficas no plano. Para resolver isso, vamos explorar o que significa |x| = |y| e como isso se traduz em gráficos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que |x| = |y| quer dizer. O símbolo | cdot | representa o valor absoluto, que essencialmente dá a magnitude de um número sem considerar o seu sinal. Então, |x| = |y| significa que a distância de x até zero no eixo x é igual à distância de y até zero no eixo y.

Passo 3

Vamos resolver a equação |x| = |y| para encontrar as possíveis relações entre x e y. Sabemos que o valor absoluto de um número é igual se os números forem iguais ou se forem opostos.
Então, temos duas possibilidades:
  1. x = y
  2. x = -y

Passo 4

Agora, vamos interpretar essas duas equações no plano cartesiano:
  1. y = x: Esta é a equação de uma reta que passa pela origem (0,0) e faz um ângulo de 45 graus com os eixos x e y. Todos os pontos onde o valor de y é igual ao de x estarão nessa linha.
  2. y = -x: Esta é a equação de uma reta que também passa pela origem, mas faz um ângulo de 135 graus com o eixo x. Aqui, o valor de y é o oposto de x, então os pontos nessa linha terão y negativo quando x for positivo e vice-versa.

Passo 5

Para esboçar o conjunto desses pares (x, y), desenhamos as duas retas no plano cartesiano:
  • A reta y = x vai do canto inferior esquerdo ao canto superior direito.
  • A reta y = -x vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito.
Essas duas retas se intersectam na origem e formam um “X” no meio do plano.

Resposta

O conjunto dos pares (x, y) que satisfazem |x| = |y| corresponde às retas y = x e y = -x no plano cartesiano. Ou seja, o gráfico é formado pelas duas linhas que se cruzam na origem formando um “X”.

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