Calcule a dimensão dos seguintes espaços e determine uma base:
O conjunto das funções em F(S),|S| que se anulam em todos os pontos de um subconjunto S0 subset S.

Passo 1

Estamos lidando com o espaço vetorial F(S) de todas as funções de um conjunto finito S em um corpo F, e queremos o subespaço V formado pelas funções que se anulam em todos os pontos de um subconjunto S0subset S. Vamos usar teoria de dimensão e base de espaço de funções.

Passo 2

O espaço F(S) tem dimensão igual a |S|, e uma base canônica é dada pelas funções “delta” de, definidas por
de
Aqui s percorre todos os elementos de S.

Passo 3

Impor a condição f(s)=0 para todo sin S0 fixa os valores da função nessas coordenadas, sobrando apenas liberdade nas coordenadas de Ssetminus S0. Assim, V é isomorfo a F^,Ssetminus S0, cujo número de coordenadas livres é
|Ssetminus S0|=|S|-|S0|

Passo 4

Logo, a dimensão de V é |S|-|S0|. Uma base natural de V é dada pelas funções delta centradas em cada ponto de Ssetminus S0:
de
pois todas essas funções satisfazem a anulação em S0 e geram exatamente as escolhas livres em Ssetminus S0.

Resposta

A dimensão é |S|-|S0| e uma base é de, onde de se t=s e 0 caso contrário.

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