Calcule a dimensão dos seguintes espaços e determine uma base:
O conjunto das funções em
que se anulam em todos os pontos de um subconjunto
.
O conjunto das funções em
Passo 1
Estamos lidando com o espaço vetorial
de todas as funções de um conjunto finito
em um corpo
, e queremos o subespaço
formado pelas funções que se anulam em todos os pontos de um subconjunto
. Vamos usar teoria de dimensão e base de espaço de funções.
Passo 2
O espaço
tem dimensão igual a
, e uma base canônica é dada pelas funções “delta”
, definidas por
Aqui
percorre todos os elementos de
.
Passo 3
Impor a condição
para todo
fixa os valores da função nessas coordenadas, sobrando apenas liberdade nas coordenadas de
. Assim,
é isomorfo a
, cujo número de coordenadas livres é
Passo 4
Logo, a dimensão de
é
. Uma base natural de
é dada pelas funções delta centradas em cada ponto de
:
pois todas essas funções satisfazem a anulação em
e geram exatamente as escolhas livres em
.
Resposta
A dimensão é
e uma base é
, onde
se
e
caso contrário.