Para os espaços abaixo, determine se são finito dimensionais e se sim determine a dimensão e uma base para o espaço:
O conjunto das sequências que com apenas um número finito de termos não nulos.
O conjunto das sequências que com apenas um número finito de termos não nulos.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o espaço
formado por todas as sequências
com apenas um número finito de termos não nulos. O conteúdo da matéria é Espaços Vetoriais, Base e Dimensão, e precisamos checar se
é de dimensão finita e, em caso afirmativo, encontrar dimensão e base.
Passo 2
Para ver que
é gerado pelos vetores canônicos, note que se uma sequência
tem apenas os índices
com
, então ela se escreve como combinação linear
,
onde é a sequência que tem 1 na posição
e zero nas demais. Assim,
gera
.
onde
Passo 3
Para verificar independência linear, suponha
Passo 4
Como cada
só tem 1 na coordenada
, olhando coordenação a coordenação vemos que todos os
devem ser zero. Logo
é linearmente independente.
Passo 5
Concluímos que
é uma base de
, mas é infinita. Portanto, não existe base finita, e
não é de dimensão finita.
Resposta
O espaço não é finito dimensional; sua dimensão é infinita (contável) e uma base é
, onde
tem 1 na posição
e zero nas demais coordenadas.