Para os espaços abaixo, determine se são finito dimensionais e se sim determine a dimensão e uma base para o espaço:
O conjunto das sequências que com apenas um número finito de termos não nulos.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o espaço V formado por todas as sequências (x1,x2,dots) com apenas um número finito de termos não nulos. O conteúdo da matéria é Espaços Vetoriais, Base e Dimensão, e precisamos checar se V é de dimensão finita e, em caso afirmativo, encontrar dimensão e base.

Passo 2

Para ver que V é gerado pelos vetores canônicos, note que se uma sequência (x1,x2,dots) tem apenas os índices i1,dots,ik com xijneq0, então ela se escreve como combinação linear
xi1ei1+xi2ei2+cdots+xikeik,
onde ei é a sequência que tem 1 na posição i e zero nas demais. Assim, e1,e2,e3,dots gera V.

Passo 3

Para verificar independência linear, suponha
a1e1+a2e2+cdots+anen=0

Passo 4

Como cada ei só tem 1 na coordenada i, olhando coordenação a coordenação vemos que todos os ai devem ser zero. Logo ei é linearmente independente.

Passo 5

Concluímos que e1,e2,dots é uma base de V, mas é infinita. Portanto, não existe base finita, e V não é de dimensão finita.

Resposta

O espaço não é finito dimensional; sua dimensão é infinita (contável) e uma base é e1,e2,e3,dots, onde ei tem 1 na posição i e zero nas demais coordenadas.

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