Sejam F e G.
a. Provar que R^3 e F cap G são subespaços vetoriais de F.
b. Achar G.
c. R^3 e são complementares em ?

Passo 1

O enunciado nos dá os conjuntos
F = {(x,y,0) ∈ ℝ³ ; x + 2y = 0}
G = {(x,0,z) ∈ ℝ³ ; x − z = 0}
e pede: provar que são subespaços de ℝ³, achar F ∩ G e verificar se são complementares (direta soma igual a ℝ³).

Passo 2

Para mostrar que um conjunto W é subespaço de ℝ³ verificamos três propriedades:
  1. O vetor zero está em W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Mostrando para F:
  1. O vetor zero (0,0,0) satisfaz 0 + 2·0 = 0, logo 0 ∈ F.
  2. Se u = (x₁,y₁,0) e v = (x₂,y₂,0) estão em F, então x₁ + 2y₁ = 0 e x₂ + 2y₂ = 0. A soma u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂, 0) satisfaz
(x₁+x₂) + 2(y₁+y₂) = (x₁+2y₁) + (x₂+2y₂) = 0 + 0 = 0,
logo u+v ∈ F.
3) Para α ∈ ℝ e u = (x,y,0) ∈ F temos
αu = (αx, αy, 0)
e
αx + 2(αy) = α(x+2y) = α·0 = 0,
então αu ∈ F. Assim F é subespaço. O mesmo raciocínio vale para G:

Passo 4

Mostrando para G:
  1. (0,0,0) satisfaz 0 − 0 = 0, logo 0 ∈ G.
  2. Se u = (x₁,0,z₁) e v = (x₂,0,z₂) em G, então x₁−z₁ = 0 e x₂−z₂ = 0. Somando,
(x₁+x₂) − (z₁+z₂) = (x₁−z₁) + (x₂−z₂) = 0,
e o terceiro componente continua zero no y, logo u+v ∈ G.
3) Para α ∈ ℝ,
αu = (αx, 0, αz),
αx − αz = α(x−z) = α·0 = 0,
portanto αu ∈ G. Assim G é subespaço.

Passo 5

Para achar F ∩ G escrevemos as parametrizações:
Em F: x + 2y = 0 ⇒ x = −2t, y = t, z = 0 ⇒
F = (-2t, t, 0): t ∈ ℝ.
Em G: x − z = 0 ⇒ x = s, z = s, y = 0 ⇒
G = (s, 0, s): s ∈ ℝ.
Um vetor está em F ∩ G se existirem t e s tais que
(-2t, t, 0) = (s, 0, s)
Igualando coordenadas:
t: t = 0 (segunda coordenada),
s: s = 0 (terceira coordenada),
logo só resta o vetor (0,0,0).

Passo 6

Calculamos as dimensões: dim(F) = 1 e dim(G) = 1. Como F ∩ G = {0}, teríamos dim(F+G) = dim(F) + dim(G) = 2. Mas ℝ³ tem dimensão 3, logo F + G ≠ ℝ³. Portanto, mesmo com interseção trivial, F e G não geram todo ℝ³ e não são complementares.

Passo 7

Resumo das respostas finais:

Resposta

a) F e G são subespaços vetoriais de ℝ³.
b) F ∩ G = {(0,0,0)}.
c) Não são complementares em ℝ³, pois dim(F+G) = 2 < 3.

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