Sejam
e
.
a. Provar que
e
são subespaços vetoriais de
.
b. Achar
.
c.
e
são complementares em
?
a. Provar que
b. Achar
c.
Passo 1
O enunciado nos dá os conjuntos
F = {(x,y,0) ∈ ℝ³ ; x + 2y = 0}
G = {(x,0,z) ∈ ℝ³ ; x − z = 0}
G = {(x,0,z) ∈ ℝ³ ; x − z = 0}
e pede: provar que são subespaços de ℝ³, achar F ∩ G e verificar se são complementares (direta soma igual a ℝ³).
Passo 2
Para mostrar que um conjunto W é subespaço de ℝ³ verificamos três propriedades:
- O vetor zero está em W.
- W é fechado sob soma de vetores.
- W é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Mostrando para F:
- O vetor zero (0,0,0) satisfaz 0 + 2·0 = 0, logo 0 ∈ F.
- Se u = (x₁,y₁,0) e v = (x₂,y₂,0) estão em F, então x₁ + 2y₁ = 0 e x₂ + 2y₂ = 0. A soma u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂, 0) satisfaz
logo u+v ∈ F.
3) Para α ∈ ℝ e u = (x,y,0) ∈ F temos
3) Para α ∈ ℝ e u = (x,y,0) ∈ F temos
e
então αu ∈ F. Assim F é subespaço. O mesmo raciocínio vale para G:
Passo 4
Mostrando para G:
- (0,0,0) satisfaz 0 − 0 = 0, logo 0 ∈ G.
- Se u = (x₁,0,z₁) e v = (x₂,0,z₂) em G, então x₁−z₁ = 0 e x₂−z₂ = 0. Somando,
e o terceiro componente continua zero no y, logo u+v ∈ G.
3) Para α ∈ ℝ,
3) Para α ∈ ℝ,
portanto αu ∈ G. Assim G é subespaço.
Passo 5
Para achar F ∩ G escrevemos as parametrizações:
Em F: x + 2y = 0 ⇒ x = −2t, y = t, z = 0 ⇒
Em G: x − z = 0 ⇒ x = s, z = s, y = 0 ⇒
Um vetor está em F ∩ G se existirem t e s tais que
Igualando coordenadas:
t: t = 0 (segunda coordenada),
s: s = 0 (terceira coordenada),
s: s = 0 (terceira coordenada),
logo só resta o vetor (0,0,0).
Passo 6
Calculamos as dimensões: dim(F) = 1 e dim(G) = 1. Como F ∩ G = {0}, teríamos dim(F+G) = dim(F) + dim(G) = 2. Mas ℝ³ tem dimensão 3, logo F + G ≠ ℝ³. Portanto, mesmo com interseção trivial, F e G não geram todo ℝ³ e não são complementares.
Passo 7
Resumo das respostas finais:
Resposta
a) F e G são subespaços vetoriais de ℝ³.
b) F ∩ G = {(0,0,0)}.
c) Não são complementares em ℝ³, pois dim(F+G) = 2 < 3.
b) F ∩ G = {(0,0,0)}.
c) Não são complementares em ℝ³, pois dim(F+G) = 2 < 3.