Seja
definido por
.
a) Determine
;
b) Mostre que
mas
.
a) Determine
b) Mostre que
Passo 1
O exercício considera o operador linear
dado por
. Precisamos (a) calcular
e (b) mostrar que
enquanto
. Aqui vamos usar composição de transformações lineares e polinômios de operadores.
Passo 2
Para achar
, aplicamos
duas vezes. Se
é um vetor qualquer, então
e em seguida
Passo 3
Agora definimos o operador
e verificamos que ele é o operador nulo. Para isso, aplicamos
em
:
Passo 4
Logo
Passo 5
Isso mostra que
Passo 6
Por fim, precisamos ver que
não é o operador nulo. Note que
Passo 7
Escolhendo por exemplo
, obtemos
logo
Resposta
(a)
.
(b) De fato
(b) De fato
mas