Seja T in R^in definido por T(x, y)=(x, x+y).
a) Determine T^2;
b) Mostre que T^2-2 T+I=(T-I)^2=0 mas T-I neq 0.

Passo 1

O exercício considera o operador linear T:R^2toR^2 dado por T(x,y)=(x,x+y). Precisamos (a) calcular T^2 e (b) mostrar que T^2-2T+I=(T-I)^2=0 enquanto T-Ineq0. Aqui vamos usar composição de transformações lineares e polinômios de operadores.

Passo 2

Para achar T^2, aplicamos T duas vezes. Se (x,y) é um vetor qualquer, então
T(x,y)=(x,x+y),
e em seguida
T^2(x,y)=Tl(T(x,y)r)=Tl(x,x+yr)=(x,,x+(x+y))=(x,,2x+y)

Passo 3

Agora definimos o operador T^2-2T+I e verificamos que ele é o operador nulo. Para isso, aplicamos T^2-2T+I em (x,y):
T^2(x,y)=(x,,2x+y), T(x,y)=(x,,x+y), I(x,y)=(x,y)

Passo 4

Logo
l(T^2-2T+Ir)(x,y)=(x,2x+y)-2(x,x+y)+(x,y)=(0,0)

Passo 5

Isso mostra que
T^2-2T+I=(T-I)^2=0

Passo 6

Por fim, precisamos ver que T-I não é o operador nulo. Note que
(T-I)(x,y)=(x,x+y)-(x,y)=(0,x)

Passo 7

Escolhendo por exemplo (x,y)=(1,0), obtemos
(T-I)(1,0)=(0,1)neq(0,0),
logo T-Ineq0.

Resposta

(a) T^2(x,y)=(x,2x+y).
(b) De fato
T^2-2T+I=(T-I)^2=0,
mas
T-Ineq0 pois (T-I)(1,0)=(0,1)neq(0,0).

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