Verificar se o conjunto F=P in R[X], P(0)=3 é um subespaço vetorial do espaço vetorial E=R[X]?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
F = {P ∈ R[X] | P(0) = 3}
é subespaço vetorial de E = R[X]. O conteúdo aqui é a definição de subespaço: para todo subconjunto F de um espaço vetorial E, precisamos checar três propriedades básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o polinômio zero pertence a F. O polinômio zero é dado por
P0(X)=0,
e vale
P0(0)=0
Mas em F só entram polinômios com valor 3 em X=0. Como
0 neq 3,
o polinômio zero não está em F. Essa falha já basta para concluir que F não é subespaço.

Passo 3

Adicionalmente, note que mesmo se tentássemos verificar fechamento sob soma ou escalar, observaríamos falhas: se P(0)=3 e Q(0)=3, então
(P+Q)(0)=6 neq 3,
em F não há soma; e para escalar qualquer λneq1
(λP)(0)=λ·3neq3
Isso reforça que F não satisfaz as condições de subespaço.

Resposta

F não é subespaço vetorial de E, pois não contém o polinômio zero (e falha no fechamento sob soma e escalar).

Exercícios relacionados