Verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
F = {P ∈ | P(0) = 3}
é subespaço vetorial de E = . O conteúdo aqui é a definição de subespaço: para todo subconjunto F de um espaço vetorial E, precisamos checar três propriedades básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.
F = {P ∈
é subespaço vetorial de E =
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o polinômio zero pertence a F. O polinômio zero é dado por
e vale
Mas em F só entram polinômios com valor 3 em X=0. Como
o polinômio zero não está em F. Essa falha já basta para concluir que F não é subespaço.
Passo 3
Adicionalmente, note que mesmo se tentássemos verificar fechamento sob soma ou escalar, observaríamos falhas: se P(0)=3 e Q(0)=3, então
em F não há soma; e para escalar qualquer
Isso reforça que F não satisfaz as condições de subespaço.
Resposta
F não é subespaço vetorial de E, pois não contém o polinômio zero (e falha no fechamento sob soma e escalar).