Calcule a dimensão dos seguintes espaços e determine uma base:
O conjunto dos polinômios homogêneos de grau menor que pem
variáveis.
O conjunto dos polinômios homogêneos de grau menor que pem
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e uma base do espaço V dos polinômios homogêneos de grau menor que p em n variáveis. O conteúdo envolve reconhecer a base canônica de monômios e usar contagem combinatória para achar a dimensão.
Passo 2
Como grau menor que p significa que aceitamos todas as componentes homogêneas de grau k para k=0,1,…,p−1, vemos que V coincide com o espaço de polinômios de grau ≤p−1 em n variáveis.
Passo 3
Uma base natural de V é o conjunto de todos os monômios
com índices não negativos i_1,…,i_n tais que i_1+…+i_n<p. Esses monômios são linearmente independentes e geram todo polinômio de grau ≤p−1.
Passo 4
Para calcular a dimensão, basta contar quantos multiíndices (i_1,…,i_n) em ℕⁿ satisfazem i_1+…+i_n≤p−1. Pelas fórmulas de “stars and bars” temos
pois
Resposta
A dimensão é
e uma base é
.