Calcule a dimensão dos seguintes espaços e determine uma base:
O conjunto dos polinômios homogêneos de grau menor que pem n variáveis.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do espaço V dos polinômios homogêneos de grau menor que p em n variáveis. O conteúdo envolve reconhecer a base canônica de monômios e usar contagem combinatória para achar a dimensão.

Passo 2

Como grau menor que p significa que aceitamos todas as componentes homogêneas de grau k para k=0,1,…,p−1, vemos que V coincide com o espaço de polinômios de grau ≤p−1 em n variáveis.

Passo 3

Uma base natural de V é o conjunto de todos os monômios
x1^i1x2^i2cdots xn^in
com índices não negativos i_1,…,i_n tais que i_1+…+i_n<p. Esses monômios são linearmente independentes e geram todo polinômio de grau ≤p−1.

Passo 4

Para calcular a dimensão, basta contar quantos multiíndices (i_1,…,i_n) em ℕⁿ satisfazem i_1+…+i_n≤p−1. Pelas fórmulas de “stars and bars” temos
dim V=binomn+(p-1)p-1
pois
sumk=0^p-1binomn+k-1k=binomn+p-1p-1

Resposta

A dimensão é binomn+p-1p-1 e uma base é
,x1^i1x2^i2cdots xn^inmid i1+cdots+in.

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