Dado
o espaço das funções contínuas em
. Quais dos seguintes funcionais sã o lineares
a)
b)
c)
(delta de Dirac)
d)
com
uma função contínua fixa.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para decidir quais dos funcionais em C[-1,1] são lineares. Estamos em um espaço vetorial sobre R e vamos usar a definição: um funcional T é linear se para todo f,h em C[-1,1] e escalares α,β tivermos
.
Passo 2
Para o funcional a)
: seja f,h em C[-1,1] e α,β escalares. Então
Passo 3
Para o funcional b)
: note que
Passo 4
Para o funcional c)
(avaliar em 0): para f,h e escalares α,β
Passo 5
Para o funcional d)
com g fixo: análogo ao caso a), pois
Resposta
Os funcionais lineares são os itens a), c) e d).