Dado C[-1,1] o espaço das funções contínuas em [-1,1]. Quais dos seguintes funcionais sã o lineares
a) f integral-1^1 f(x) d x
b) f integral-1^1 f^2(x) d x
c) f f(0) (delta de Dirac)
d) f integral-1^1 f(x) g(x) d x com g(x) uma função contínua fixa.

Passo 1

O enunciado pede para decidir quais dos funcionais em C[-1,1] são lineares. Estamos em um espaço vetorial sobre R e vamos usar a definição: um funcional T é linear se para todo f,h em C[-1,1] e escalares α,β tivermos T(αf+βh)=αT(f)+βT(h).

Passo 2

Para o funcional a) T(f)=integral-1^1f(x),dx: seja f,h em C[-1,1] e α,β escalares. Então
T(αf+βh)=integral-1^1[αf(x)+βh(x)],dx=αintegral-1^1f(x),dx+βintegral-1^1h(x),dx=αT(f)+βT(h)

Passo 3

Para o funcional b) T(f)=integral-1^1f^2(x),dx: note que
T(αf)=integral-1^1(αf(x))^2,dx=α^2integral-1^1f^2(x),dx=α^2T(f), que só coincide com αT(f) se α^2=α (não vale em geral). Logo não é linear.

Passo 4

Para o funcional c) T(f)=f(0) (avaliar em 0): para f,h e escalares α,β
T(αf+βh)=(αf+βh)(0)=αf(0)+βh(0)=αT(f)+βT(h), logo é linear.

Passo 5

Para o funcional d) T(f)=integral-1^1f(x)g(x),dx com g fixo: análogo ao caso a), pois
T(αf+βh)=integral-1^1[αf(x)+βh(x)]g(x),dx=αT(f)+βT(h)

Resposta

Os funcionais lineares são os itens a), c) e d).

Exercícios relacionados