Calcule a dimensão dos seguintes espaços e determine uma base:
O espaço dos polinômios de grau menor que p em n variáveis

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do espaço de todos os polinômios em n variáveis com grau total menor que p. O conteúdo é Espaços de Polinômios e vamos precisar usar a contagem de monômios por meio de uma fórmula combinatória.

Passo 2

Um polinômio em n variáveis é combinação linear de monômios da forma x₁^{a₁} x₂^{a₂} … xₙ^{aₙ}, onde cada aᵢ ≥ 0 e o grau total é a₁+…+aₙ. Para ter grau < p, precisamos de a₁+…+aₙ ≤ p-1.
O conjunto de todos esses monômios é linearmente independente e gera o espaço, logo é uma base natural. Basta listar todos os vetores do tipo x₁{a₁}…xₙ{aₙ} com a₁+…+aₙ ≤ p-1.

Passo 3

Para achar a dimensão, contamos o número de soluções não negativas de a₁+…+aₙ ≤ p-1. Introduzimos uma variável auxiliar a₀ ≥ 0 tal que a₀ + a₁ + … + aₙ = p-1. Pelo princípio de “estrelas e barras”, o número de soluções é
binom(n+1)+(p-1)-1(p-1) = binomn+p-1p-1

Passo 4

Portanto, a dimensão do espaço é binomn+p-1p-1 e uma base é o conjunto de todos os monômios x1^a1x2^a2cdots xn^an com a1+cdots+an<= p-1.

Resposta

Dimensão = binomn+p-1p-1. Base = ,x1^a1x2^a2cdots xn^an:a1+cdots+an<= p-1.

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