Calcule a dimensão dos seguintes espaços e determine uma base:
O espaço dos polinômios de grau menor que p em n variáveis
O espaço dos polinômios de grau menor que p em n variáveis
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e uma base do espaço de todos os polinômios em n variáveis com grau total menor que p. O conteúdo é Espaços de Polinômios e vamos precisar usar a contagem de monômios por meio de uma fórmula combinatória.
Passo 2
Um polinômio em n variáveis é combinação linear de monômios da forma x₁^{a₁} x₂^{a₂} … xₙ^{aₙ}, onde cada aᵢ ≥ 0 e o grau total é a₁+…+aₙ. Para ter grau < p, precisamos de a₁+…+aₙ ≤ p-1.
O conjunto de todos esses monômios é linearmente independente e gera o espaço, logo é uma base natural. Basta listar todos os vetores do tipo x₁{a₁}…xₙ{aₙ} com a₁+…+aₙ ≤ p-1.
O conjunto de todos esses monômios é linearmente independente e gera o espaço, logo é uma base natural. Basta listar todos os vetores do tipo x₁{a₁}…xₙ{aₙ} com a₁+…+aₙ ≤ p-1.
Passo 3
Para achar a dimensão, contamos o número de soluções não negativas de a₁+…+aₙ ≤ p-1. Introduzimos uma variável auxiliar a₀ ≥ 0 tal que a₀ + a₁ + … + aₙ = p-1. Pelo princípio de “estrelas e barras”, o número de soluções é
Passo 4
Portanto, a dimensão do espaço é
e uma base é o conjunto de todos os monômios
com
.
Resposta
Dimensão =
. Base =
.