Para os espaços abaixo, determine se são finito dimensionais e se sim determine a dimensão e uma base para o espaço:
O conjunto das sequências reais que satisfazem
para
O conjunto das sequências reais que satisfazem
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o espaço das sequências reais que satisfazem a_{k}=a_{k-1}+a_{k-2} para k\ge3 é de dimensão finita e, em caso afirmativo, encontrar a dimensão e uma base. O conteúdo envolvido é espaços vetoriais e recorrências lineares homogêneas de ordem 2.
Passo 2
Uma recorrência linear homogênea de ordem 2 define um espaço vetorial de soluções cuja dimensão é igual à ordem da recorrência. Como aqui a ordem é 2, esperamos que o espaço seja finito dimensional de dimensão 2.
Para ver isso diretamente, basta notar que qualquer sequência que satisfaz a_{k}=a_{k-1}+a_{k-2} é completamente determinada pelos dois primeiros termos a_{1} e a_{2}. Dado o par (a_{1},a_{2}) podemos gerar todos os demais termos pela recorrência, mostrando que há um isomorfismo entre esse espaço e \mathbb{R}^{2}.
Para ver isso diretamente, basta notar que qualquer sequência que satisfaz a_{k}=a_{k-1}+a_{k-2} é completamente determinada pelos dois primeiros termos a_{1} e a_{2}. Dado o par (a_{1},a_{2}) podemos gerar todos os demais termos pela recorrência, mostrando que há um isomorfismo entre esse espaço e \mathbb{R}^{2}.
Passo 3
Uma base natural corresponde às sequências obtidas a partir dos vetores canônicos de \mathbb{R}^{2}. Definimos u pela condição u_{1}=1, u_{2}=0 e v por v_{1}=0, v_{2}=1. Aplicando a recorrência, os primeiros termos são
u=(1,0,1,1,2,3,\dots)
v=(0,1,1,2,3,5,\dots)
Essas duas sequências são linearmente independentes e geram todo o espaço, formando uma base.
u=(1,0,1,1,2,3,\dots)
v=(0,1,1,2,3,5,\dots)
Essas duas sequências são linearmente independentes e geram todo o espaço, formando uma base.
Resposta
O espaço é finito dimensional de dimensão 2. Uma base é dada pelas sequências u e v definidas por u_{1}=1, u_{2}=0 e v_{1}=0, v_{2}=1, cujos termos são respectivamente u=(1,0,1,1,2,3,\dots) e v=(0,1,1,2,3,5,\dots).