Seja
linear e suponhamos que
possuem a propriedade de que suas imagens
são linearmente independentes. Mostre que os vetores
são também linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
e vetores
tais que suas imagens
são linearmente independentes em
. Nosso objetivo é mostrar que
também são linearmente independentes em
. Vamos usar a definição de independência linear e a propriedade de linearidade de
.
Passo 2
Começamos lembrando a definição de independência linear: um conjunto de vetores
é linearmente independente se, sempre que
então todos os escalares
são zero.
Passo 3
Assumamos então uma relação linear nos vetores
. Ou seja, suponha que existam escalares
tais que
Passo 4
Aplicamos agora a transformação linear
em ambos os lados da igualdade. Como
é linear, temos
Mas
, pois toda transformação linear leva o vetor zero em
ao vetor zero em
. Portanto chegamos à combinação linear
Pelo enunciado, os vetores
são linearmente independentes em
. Isso implica que necessariamente
Passo 5
Como a única relação linear possível entre
é a trivial (todos os
), concluímos que
são linearmente independentes em
.
Resposta
Os vetores
são também linearmente independentes.