Seja T: U V linear e suponhamos que u1, u2, ldots, un in U possuem a propriedade de que suas imagens u1, u2, ldots, un são linearmente independentes. Mostre que os vetores são também linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear T: U to V e vetores u1,dots,unin U tais que suas imagens T(u1),dots,T(un) são linearmente independentes em V. Nosso objetivo é mostrar que u1,dots,un também são linearmente independentes em U. Vamos usar a definição de independência linear e a propriedade de linearidade de T.

Passo 2

Começamos lembrando a definição de independência linear: um conjunto de vetores v1,dots,vn é linearmente independente se, sempre que
alpha1 v1 + alpha2 v2 + cdots + alphan vn = 0,
então todos os escalares alpha1,dots,alphan são zero.

Passo 3

Assumamos então uma relação linear nos vetores u1,dots,un. Ou seja, suponha que existam escalares alpha1,dots,alphan tais que
alpha1 u1 + alpha2 u2 + cdots + alphan un = 0U

Passo 4

Aplicamos agora a transformação linear T em ambos os lados da igualdade. Como T é linear, temos
T(alpha1 u1 + cdots + alphan un) = alpha1 T(u1) + cdots + alphan T(un) = T(0U)
Mas T(0U) = 0V, pois toda transformação linear leva o vetor zero em U ao vetor zero em V. Portanto chegamos à combinação linear
alpha1 T(u1) + alpha2 T(u2) + cdots + alphan T(un) = 0V
Pelo enunciado, os vetores T(u1),dots,T(un) são linearmente independentes em V. Isso implica que necessariamente
alpha1 = alpha2 = cdots = alphan = 0

Passo 5

Como a única relação linear possível entre u1,dots,un é a trivial (todos os alphai=0), concluímos que u1,dots,un são linearmente independentes em U.

Resposta

Os vetores u1,dots,un são também linearmente independentes.

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