Verificar se o conjunto E=R^4 é um subespaço vetorial do espaço vetorial ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F = (x,y,z,t)inR^4mid x+y-z+2t=0 é subespaço vetorial de R^4. O conteúdo é subespaço de espaço vetorial e vamos usar os critérios: conter o vetor zero, fechamento sob soma e fechamento por escalar.

Passo 2

Verificar o vetor zero: para (0,0,0,0) temos 0+0-0+2cdot0=0. Como a condição é satisfeita, o vetor zero pertence a F.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam u=(x1,y1,z1,t1) e v=(x2,y2,z2,t2) em F, isto é, x1+y1-z1+2t1=0 e x2+y2-z2+2t2=0. Então
(x1+x2)+(y1+y2)-(z1+z2)+2(t1+t2)=(x1+y1-z1+2t1)+(x2+y2-z2+2t2)=0+0=0
Logo u+vin F.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja alphainR e u=(x,y,z,t)in F com x+y-z+2t=0. Então
alpha x+alpha y-alpha z+2(alpha t)=alpha(x+y-z+2t)=alphacdot0=0
Logo alpha uin F.

Resposta

Sim, F é um subespaço vetorial de R^4.

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