Calcule Du f(x0, y0), na direção do vetor v, para
f(x, y)=e^x^2-y^2,(x0, y0)=(1,1) e v=(3,4).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=e^x^2 - y^2 no ponto (x0,y0)=(1,1) na direção do vetor v=(3,4). Vamos usar que
a derivada direcional na direção do vetor unitário u é dada por
Duf(x0,y0)=nabla f(x0,y0)cdot u,
onde nabla f é o gradiente de f.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) =2x,e^x^2 - y^2, partial fpartial y(x,y) =-2y,e^x^2 - y^2

Passo 3

Avaliar o gradiente em (1,1):
nabla f(1,1) =l(2cdot1,e^1^2-1^2,;-2cdot1,e^1^2-1^2r) =(2,-2),
pois e^1-1=e^0=1.

Passo 4

Obter o vetor unitário u na direção de v=(3,4):
|v|=raiz3^2+4^2=5, u=v|v|=l(35,45r)

Passo 5

Calcular a derivada direcional:
Duf(1,1) =nabla f(1,1)cdot u =(2,-2)cdotl(tfrac35,tfrac45r) =2cdot3 + (-2)cdot45 =6-85 =-25

Resposta

-25

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