Determine:
b. A área da região interior ao círculo r=2 exterior a cardióide r=2(1- cos theta)

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos achar a área da região que fica dentro do círculo r=2 e fora da cardióide r=2(1–cosθ). O conteúdo é cálculo de áreas em coordenadas polares usando a fórmula A=½∫(r_externa²–r_interna²)dθ e precisamos determinar os ângulos de interseção e o intervalo em que o círculo está por fora da cardióide.

Passo 2

Encontrar interseções: Igualamos r_círculo=2 e r_cardióide=2(1–cosθ): 2=2(1-costheta) implies 1=1-costheta implies costheta=0 Logo θ=π/2 e θ=3π/2.

Passo 3

Determinar intervalo de integração: Queremos r_círculo≥r_cardióide, ou seja 2≥2(1–cosθ) ⇒ cosθ≥0. Isso ocorre para θ∈[–π/2,π/2] (ou equivalente em [0,2π]). Vamos usar simetria em torno do eixo x e integrar de –π/2 a π/2.

Passo 4

Montar integral de área: A=12 integral-pi/2^pi/2l(2^2 - [2(1-costheta)]^2r),dtheta =12 integral-pi/2^pi/2l(4-4(1-2costheta+cos^2theta)r)dtheta

Passo 5

Simplificar e calcular integrais: Dentro do integrando temos 4–4(1–2cosθ+cos²θ)=8cosθ–4cos²θ. Então A=4integral-pi/2^pi/2costheta,dtheta -2integral-pi/2^pi/2cos^2theta,dtheta

Passo 6

Calcular separadamente: integral-pi/2^pi/2costheta,dtheta=2 e integral-pi/2^pi/2cos^2theta,dtheta=tfracpi2. Logo
A=4cdot2 -2cdotpi2=8-pi

Resposta

8-pi

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