Determine:
b. A área da região interior ao círculo
exterior a cardióide
b. A área da região interior ao círculo
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos achar a área da região que fica dentro do círculo r=2 e fora da cardióide r=2(1–cosθ). O conteúdo é cálculo de áreas em coordenadas polares usando a fórmula A=½∫(r_externa²–r_interna²)dθ e precisamos determinar os ângulos de interseção e o intervalo em que o círculo está por fora da cardióide.
Passo 2
Encontrar interseções: Igualamos r_círculo=2 e r_cardióide=2(1–cosθ):
Logo θ=π/2 e θ=3π/2.
Passo 3
Determinar intervalo de integração: Queremos r_círculo≥r_cardióide, ou seja 2≥2(1–cosθ) ⇒ cosθ≥0. Isso ocorre para θ∈[–π/2,π/2] (ou equivalente em [0,2π]). Vamos usar simetria em torno do eixo x e integrar de –π/2 a π/2.
Passo 4
Montar integral de área:
Passo 5
Simplificar e calcular integrais: Dentro do integrando temos 4–4(1–2cosθ+cos²θ)=8cosθ–4cos²θ. Então
Passo 6
Calcular separadamente:
e
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