Resolva o problema de valor inicial abaixo utilizando transformadas de Laplace.
y^prime+3 y=1 e y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y'(t)+3y(t)=1, y(0)=1
e pede para resolver usando transformada de Laplace. Vamos usar que
Ly'(s)=sY(s)-y(0),
Ly(s)=Y(s) e L1(s)=1/s.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'(t)+3y(t)=1
obtemos
l(sY(s)-y(0)r)+3Y(s)=1s
Como y(0)=1, isso vira
sY(s)-1+3Y(s)=1s

Passo 3

Agrupando Y(s) temos
(s+3)Y(s)=1s+1
Logo
Y(s)=1s+1s+3 =1+ss(s+3)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
1+ss(s+3)=As+Bs+3
Temos
1+s = A(s+3)+Bs = (A+B)s+3A
e comparando coeficientes:
A+B=1, 3A=1Longrightarrow A=tfrac13,;B=tfrac23
Portanto
Y(s)=1/3s+2/3s+3

Passo 5

Invertendo a transformada usamos
L^-11/s=1 e
L^-11/(s+3)=e^-3t.
Assim
y(t)=13cdot1+23e^-3t =13+23e^-3t

Resposta

y(t)=13+23e^-3t

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