Calcule a distancia entre
r: X=(-1,2,0)+t(1,3,1), t in R e
s: x-12=y-23=z3

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r:;X = (-1,2,0) + t,(1,3,1), tinR,
s:;x-12=y-23=z3
Queremos a distância mínima entre essas retas. Como elas não são paralelas nem se intersectam (logo são retas reversas), vamos usar a fórmula
d = l|PQcdotl(vtimes wr)r||vtimes w|,
onde v e w são os vetores diretores de r e s e Pin r, Qin s.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores:
v = (1,3,1), w = (2,3,3)
Para ver que não são paralelos, basta notar que não existe escalar lambda tal que (1,3,1)=lambda(2,3,3).

Passo 3

Escolhemos P em r tomando t=0, ou seja
P = (-1,2,0)
Em s tomamos o parâmetro mu=0 na forma simétrica, logo
Q = (1,2,0)
Então
PQ = Q - P = (2,0,0)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
v times w = l(1,3,1r)timesl(2,3,3r) = (,3cdot3 - 1cdot3,;1cdot2 - 1cdot3,;1cdot3 - 3cdot2) = (6,,-1,,-3)

Passo 5

O produto escalar para o numerador é
PQcdotl(vtimes wr) = (2,0,0)cdot(6,-1,-3) = 12
O módulo de vtimes w é
|vtimes w| = raiz6^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz36 + 1 + 9 = raiz46

Passo 6

Substituindo na fórmula da distância:
d = |12|raiz46 = 12raiz46 = 6raiz4623

Resposta

12raiz46 (ou 6raiz4623)

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