Considere (R^3,+, cdot) um espaço vetorial real munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= usual. Seja C= underbrace(1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)=u1, underbrace(2raiz6, -1raiz6, -1raiz6)=u2, underbrace(0, 1raiz2, -1raiz2)=u3 base ortonormal do espaço vetorial real consirado.
(e) Calcule |u1+u2+u3|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a norma do vetor
v = u1 + u2 + u3
no espaço R^3 com o produto interno usual, sabendo que u1,u2,u3 é uma base ortonormal. Para isso, vamos usar que
  1. |v|^2 = lang<= v,vrang<=,
  2. em uma base ortonormal lang<= ui,ujrang<= = 0 se ineq j e lang<= ui,uirang<= = 1.

Passo 2

Defina
v = u1 + u2 + u3
Então
|v|^2 = lang<= u1 + u2 + u3,,u1 + u2 + u3rang<=

Passo 3

Expandindo o produto interno, obtemos
|v|^2 = sumi=1^3lang<= ui,uirang<= + 2sum1<= i<j<=3lang<= ui,ujrang<=

Passo 4

Pela ortonormalidade, temos lang<= ui,uirang<==1 e lang<= ui,ujrang<==0 para ineq j. Logo
|v|^2 = 1+1+1 + 2cdot0 = 3
e portanto
|v| = raiz3

Resposta

raiz3

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