Considere o espaço vetorial real (mathscrP2(R),+, cdot), munido o produto interno lang<=cdot, cdotrang<= do Exercício 1.
(b) Considere o operador linear T: mathscrP2(R) mathscrP2(R), cuja matriz em relação a base C, encontrada no item anterior, seja [T]C=(lll1raiz2 & 1raiz2 & 0 0 & 0 & 1 m & n & p). Determine m, n, p in R, de modo que o operador linear T seja uma isometria no espaço vetorial real considerado.

Passo 1

O enunciado pede para achar m,n,pinR de modo que o operador linear
T:mathscrP2(R)tomathscrP2(R)
seja uma isometria, isto é, preserve o produto interno lang<=cdot,cdotrang<=. No sistema de coordenadas dado pela base ortonormal C, isso equivale a exigir que a matriz
A=[T]C = tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 & 0 0 & 0 & 1 m & n & p
seja uma matriz ortogonal, ou seja
A^TA=I3

Passo 2

Para A ser ortogonal, as linhas (ou colunas) devem ser vetores unitários mutuamente ortogonais. Começamos impondo a ortogonalidade da terceira linha em relação às duas primeiras:
Linha1cdotLinha3: 1raiz2m+1raiz2n+0cdot p=0 Longrightarrow m+nraiz2=0 Longrightarrow m+n=0
Linha2cdotLinha3: 0cdot m+0cdot n+1cdot p=0 Longrightarrow p=0

Passo 3

Impondo agora que a terceira linha seja unitária, temos
m^2+n^2+p^2=1 Longrightarrow m^2+n^2=1,
já que p=0. Como n=-m, segue
m^2+(-m)^2=2m^2=1 Longrightarrow m^2=tfrac12 Longrightarrow m=pmtfrac1raiz2,
e portanto
n=-m=mptfrac1raiz2

Resposta

(m,n,p)=l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0r) ou l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0r),
ambas fazem de T uma isometria.

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