Considere o espaço vetorial real , munido o produto interno do Exercício 1.
(b) Considere o operador linear , cuja matriz em relação a base , encontrada no item anterior, seja . Determine m, n, p in R, de modo que o operador linear T seja uma isometria no espaço vetorial real considerado.
Passo 1
O enunciado pede para achar m,n,pinR de modo que o operador linear
T:mathscrP2(R)tomathscrP2(R)
seja uma isometria, isto é, preserve o produto interno lang<=cdot,cdotrang<=. No sistema de coordenadas dado pela base ortonormal C, isso equivale a exigir que a matriz
A=[T]C = tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 & 0 0 & 0 & 1 m & n & p
seja uma matriz ortogonal, ou seja
A^TA=I3
Passo 2
Para A ser ortogonal, as linhas (ou colunas) devem ser vetores unitários mutuamente ortogonais. Começamos impondo a ortogonalidade da terceira linha em relação às duas primeiras: