Escreva uma equação geral do plano que passa pelos pontos A(2,1,3), B(3,-3,4), C(-1,1,-4).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos A(2,1,3), B(3,-3,4) e C(-1,1,-4).
O conteúdo envolve geometria analítica no espaço: precisamos encontrar dois vetores diretores do plano e, a partir deles, obter um vetor normal via produto vetorial. Com o vetor normal e um ponto, usamos a forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Calcular os vetores diretores AB e AC subtraindo coordenadas:
AB = B - A = (3-2,,-3-1,,4-3) = (1,,-4,,1),
AC = C - A = (-1-2,,1-1,,-4-3) = (-3,,0,,-7)

Passo 3

Determinar o vetor normal n ao plano pelo produto vetorial:
n = ABtimesAC = i & j & k 1 & -4 & 1 -3 & 0 & -7 = (28),i + (4),j + (-12),k
Podemos simplificar dividindo por 4, obtendo
n = (7,,1,,-3)

Passo 4

Usar a forma ponto-normal do plano com o ponto A(2,1,3):
ncdotl((x,y,z)-(2,1,3)r)=0 Longrightarrow 7(x-2)+1(y-1)-3(z-3)=0

Passo 5

Expandir e simplificar:
7x-14 + y-1 -3z+9 = 0 Longrightarrow 7x + y -3z -6 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
7x + y - 3z - 6 = 0

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