Calcule a distância envolvendo retas e planos:
r:\left\{\begin{array}{l}x=2+h \\\ y=3+h \\\ z=1-2 h\end{array} \quad \mathrm{e} \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=t \\\ y=-1-3 t \\\ z=2 t\end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica:
r:\begin{cases} x=2+h\\\ y=3+h\\\ z=1-2h \end{cases} \quad\text{e}\quad s:\begin{cases} x=t\\\ y=-1-3t\\\ z=2t \end{cases}
e pede a distância entre elas. Como são retas possivelmente reversas (gêmeas), usamos a fórmula da distância entre retas reversas:
d=\frac{\bigl|\,(Q-P)\cdot\bigl(v_r\times v_s\bigr)\bigr|}{\|v_r\times v_s\|},
onde P e v_r vêm de r e Q e v_s vêm de s.

Passo 2

Escolhemos
P=(2,3,1),\quad v_r=(1,1,-2)
tomando h=0 em r,
e
Q=(0,-1,0),\quad v_s=(1,-3,2)
tomando t=0 em s.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
v_r\times v_s =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&1&-2\\\\ 1&-3&2 \end{vmatrix} =(-4,-4,-4).
A norma vale
\|v_r\times v_s\|=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+(-4)^2} =4\sqrt{3}.

Passo 4

Formamos o vetor que liga P a Q:
Q-P=(0-2,\,-1-3,\,0-1)=(-2,-4,-1).

Passo 5

O produto escalar é
(Q-P)\cdot(v_r\times v_s) =(-2,-4,-1)\cdot(-4,-4,-4) =8+16+4=28.
Então a distância é
d=\frac{|28|}{4\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{3}

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