Sejam A, B e C três pontos de E^{3}, e sejam \vec{c}=\overrightarrow{B A} e \vec{a}=\overrightarrow{B C}. Mostre que o vetor \vec{u}=\frac{\vec{c}}{\|\vec{c}\|}+\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} é paralelo à bissetriz do ângulo \hat{A B C}. Interprete este resultado, relacionan. do-o com uma conhecida propriedade dos losangos.
Sugestão: Calcule os co-senos dos ângulos entre \vec{u} e \vec{c} e entre \vec{u} e \vec{a}, e compare-os.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados três pontos A,B,C em \mathbb{E}^3 e os vetores
\vec c=\overrightarrow{BA},\quad \vec a=\overrightarrow{BC},
o vetor
\vec u=\frac{\vec c}{\|\vec c\|}+\frac{\vec a}{\|\vec a\|}
é paralelo à bissetriz do ângulo \widehat{ABC}.
Conteúdo: produto interno e definição de cosseno de ângulo entre vetores. Vamos usar a condição de que um vetor bissetor faz ângulos iguais com cada lado, ou seja, os cossenos desses ângulos coincidem.

Passo 2

Para dizer que \vec u bisseta o ângulo \widehat{ABC} precisamos verificar que
\cos\bigl(\angle(\vec u,\vec c)\bigr) \;=\; \cos\bigl(\angle(\vec u,\vec a)\bigr).
Pela fórmula do cosseno entre vetores,
\cos\bigl(\angle(\vec u,\vec c)\bigr) =\frac{\langle \vec u,\vec c\rangle}{\|\vec u\|\;\|\vec c\|}, \quad \cos\bigl(\angle(\vec u,\vec a)\bigr) =\frac{\langle \vec u,\vec a\rangle}{\|\vec u\|\;\|\vec a\|}.

Passo 3

Calculemos os produtos internos \langle \vec u,\vec c\rangle e \langle \vec u,\vec a\rangle.
\langle \vec u,\vec c\rangle =\Bigl\langle \frac{\vec c}{\|\vec c\|}+\frac{\vec a}{\|\vec a\|},\,\vec c\Bigr\rangle =\frac{\langle \vec c,\vec c\rangle}{\|\vec c\|}+\frac{\langle \vec a,\vec c\rangle}{\|\vec a\|} =\|\vec c\|+\frac{\langle \vec a,\vec c\rangle}{\|\vec a\|}.
\langle \vec u,\vec a\rangle =\Bigl\langle \frac{\vec c}{\|\vec c\|}+\frac{\vec a}{\|\vec a\|},\,\vec a\Bigr\rangle =\frac{\langle \vec c,\vec a\rangle}{\|\vec c\|}+\frac{\langle \vec a,\vec a\rangle}{\|\vec a\|} =\frac{\langle \vec c,\vec a\rangle}{\|\vec c\|}+\|\vec a\|.

Passo 4

Agora as cossenos ficam
\cos\bigl(\angle(\vec u,\vec c)\bigr) =\frac{\|\vec c\|+\frac{\langle \vec a,\vec c\rangle}{\|\vec a\|}}{\|\vec u\|\;\|\vec c\|} =\frac{\|\vec c\|\|\vec a\|+\langle \vec a,\vec c\rangle}{\|\vec u\|\;\|\vec c\|\;\|\vec a\|},
\cos\bigl(\angle(\vec u,\vec a)\bigr) =\frac{\frac{\langle \vec c,\vec a\rangle}{\|\vec c\|}+\|\vec a\|}{\|\vec u\|\;\|\vec a\|} =\frac{\langle \vec c,\vec a\rangle+\|\vec a\|\|\vec c\|}{\|\vec u\|\;\|\vec c\|\;\|\vec a\|}.
Como \langle \vec a,\vec c\rangle=\langle \vec c,\vec a\rangle, os numeradores coincidem, logo
\cos\bigl(\angle(\vec u,\vec c)\bigr) =\cos\bigl(\angle(\vec u,\vec a)\bigr).

Passo 5

Isto mostra que \vec u faz o mesmo ângulo com \vec c e com \vec a, ou seja, \vec u é paralelo à bissetriz do ângulo \widehat{ABC}.

Passo 6

Interpretação em losangos: num losango adjacente a dois lados quaisquer temos \|\vec a\|=\|\vec c\|. Nesse caso
\vec u =\frac{\vec c}{\|\vec c\|}+\frac{\vec a}{\|\vec a\|} =\frac{\vec c+\vec a}{\|\vec a\|},
que é justamente a direção da diagonal AC. Concluímos, pois, a propriedade clássica de que as diagonais de um losango bissetam os ângulos internos.

Resposta

O vetor \vec u bisseta \widehat{ABC} porque
\cos(\angle(\vec u,\vec c))=\cos(\angle(\vec u,\vec a)). Em particular, se \|\vec a\|=\|\vec c\| (losango) então \vec u aponta na direção da diagonal, confirmando que as diagonais de um losango bissetam seus ângulos.

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