Sejam A, B e C três pontos de E^{3}, e sejam \vec{c}=\overrightarrow{B A} e \vec{a}=\overrightarrow{B C}. Mostre que o vetor \vec{u}=\frac{\vec{c}}{\|\vec{c}\|}+\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} é paralelo à bissetriz do ângulo \hat{A B C}. Interprete este resultado, relacionan. do-o com uma conhecida propriedade dos losangos.
Sugestão: Calcule os co-senos dos ângulos entre \vec{u} e \vec{c} e entre \vec{u} e \vec{a}, e compare-os.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados três pontos A,B,C em \mathbb{E}^3 e os vetores
é paralelo à bissetriz do ângulo \widehat{ABC}.
Conteúdo: produto interno e definição de cosseno de ângulo entre vetores. Vamos usar a condição de que um vetor bissetor faz ângulos iguais com cada lado, ou seja, os cossenos desses ângulos coincidem.
Passo 2
Para dizer que \vec u bisseta o ângulo \widehat{ABC} precisamos verificar que
que é justamente a direção da diagonal AC. Concluímos, pois, a propriedade clássica de que as diagonais de um losango bissetam os ângulos internos.
Resposta
O vetor \vec u bisseta \widehat{ABC} porque \cos(\angle(\vec u,\vec c))=\cos(\angle(\vec u,\vec a)). Em particular, se \|\vec a\|=\|\vec c\| (losango) então \vec u aponta na direção da diagonal, confirmando que as diagonais de um losango bissetam seus ângulos.