Se \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule:
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}

Passo 1

O enunciado diz que A,B,C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário e pede
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} \;+\;\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}\;+\;\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}.
Aqui vamos usar propriedades de vetores em triângulo e o produto escalar.

Passo 2

Defina
\mathbf{a} = \overrightarrow{AB},\quad \mathbf{b} = \overrightarrow{BC},\quad \mathbf{c} = \overrightarrow{CA}.
Num polígono fechado vale sempre
\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0}.

Passo 3

Faça o produto escalar de \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0} por si mesmo:
(\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c})\cdot(\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}) = 0.
Desenvolvendo,
|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + |\mathbf{c}|^2 + 2\bigl(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}\bigr) = 0.

Passo 4

Chame
S = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}.
Então a equação vira
|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + |\mathbf{c}|^2 + 2S = 0 \quad\Longrightarrow\quad S = -\tfrac12\bigl(|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + |\mathbf{c}|^2\bigr).

Passo 5

Em um triângulo equilátero de lado 1 temos
|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = |\mathbf{c}| = 1,
logo
S = -\tfrac12(1 + 1 + 1) = -\tfrac32.

Resposta

-\tfrac32

Exercícios relacionados