Seja T: V_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{3}(\mathbb{R}), T\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(3 v_{1}-v_{2}, 2 v_{1}+4 v_{2},-v_{1}+v_{2}\right).
Obtenha P_{\mathcal{B}^{\prime} V_{3} \mathcal{B}_{V_{3}}} e P_{\mathcal{B}_{V_{2}} \mathcal{B}^{\prime} V_{2}} e mostre que [T]_{\mathcal{B}^{\prime} V_{3} \mathcal{B}^{\prime} V_{2}}=P_{\mathcal{B}^{\prime} V_{3} \mathcal{B}_{3}}[T]_{\mathcal{B}_{V_{3}} \mathcal{B}_{V_{2}}} P_{\mathcal{B}_{V_{2}} \mathcal{B}^{\prime} V_{2}}.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular as matrizes de mudança de base
\;P_{\mathcal B'_{V_3}\,\mathcal B_{V_3}} e \;P_{\mathcal B_{V_2}\,\mathcal B'_{V_2}},
e depois verificar a relação
[T]_{\mathcal B'_{V_3}\,\mathcal B'_{V_2}} = P_{\mathcal B'_{V_3}\,\mathcal B_{V_3}}\; [T]_{\mathcal B_{V_3}\,\mathcal B_{V_2}}\; P_{\mathcal B_{V_2}\,\mathcal B'_{V_2}}.
Para efetuar qualquer cálculo concreto, é essencial conhecer quais são as bases
\mathcal B_{V_2},\;\mathcal B'_{V_2} em V_2(\mathbb R)
e \mathcal B_{V_3},\;\mathcal B'_{V_3} em V_3(\mathbb R).

Passo 2

No enunciado fornecido não há especificação de nenhuma dessas quatro bases.
Sem saber
– quais vetores formam \mathcal B_{V_2} e \mathcal B'_{V_2},
– quais vetores formam \mathcal B_{V_3} e \mathcal B'_{V_3},
não é possível escrever explicitamente as matrizes de mudança de base
nem as matrizes de representação de T nessas bases.

Resposta

Não é possível resolver o exercício sem a definição explícita das bases
\mathcal{B}_{V_2},\;\mathcal{B}'_{V_2},\;\mathcal{B}_{V_3} e \mathcal{B}'_{V_3},
pois são dados imprescindíveis para construir
P_{\mathcal{B}'_{V_3}\,\mathcal{B}_{V_3}} e P_{\mathcal{B}_{V_2}\,\mathcal{B}'_{V_2}}.

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