Calcule a distância do foco superior da hipérbole 9 y^{2}-16 x^{2}=144 a cada um dos seus vértices.

Passo 1

O enunciado pede a distância do foco superior de uma hipérbole aos seus vértices. O conteúdo aqui é geometria de cônicas: a hipérbole na forma canônica vertical, em que identificamos a, b e depois calculamos c, a distância do centro aos focos.

Passo 2

Começamos colocando a equação
9y^{2}-16x^{2}=144
na forma standard, dividindo tudo por 144:
\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1.

Passo 3

Da forma \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 concluímos que
a^{2}=16,\quad b^{2}=9.

Passo 4

Em hipérboles verticais o foco está a uma distância c do centro, com
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.

Passo 5

O centro está em (0,0). Assim:
– vértices em (0,\pm a)=(0,\pm4),
– focos em (0,\pm c)=(0,\pm5).
O foco superior é (0,5).

Passo 6

As distâncias do foco superior (0,5) aos vértices são
– até (0,4):
d_{1}=\sqrt{(0-0)^{2}+(5-4)^{2}}=1,
– até (0,-4):
d_{2}=\sqrt{(0-0)^{2}+(5-(-4))^{2}}=9.

Resposta

As distâncias são 1 e 9.

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