Uma elipse tem como focos os pontos F_{1}=(-8,15) e F_{2}=(12,5) e passa pela origem do sistema cartesiano. Qual a sua equação? (Resposta: 5 x^{2}+ \left.4 x y+8 y^{2}-60 x-168 y=0\right).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma elipse com focos em F_{1}=(-8,15) e F_{2}=(12,5) e que ela passa pela origem O=(0,0). Como em toda elipse a definição é
\sqrt{(x - x_{1})^{2}+(y - y_{1})^{2}} \;+\;\sqrt{(x - x_{2})^{2}+(y - y_{2})^{2}} \;=\; 2a,
precisamos (i) achar 2a usando o ponto O e (ii) eliminar as raízes para chegar à forma geral da elipse.

Passo 2

No ponto O=(0,0) as distâncias até os focos são
d_{1}=\sqrt{(-8)^{2}+(15)^{2}}=\sqrt{64+225}=17, \quad d_{2}=\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{144+25}=13.
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2a=d_{1}+d_{2}=17+13=30 \quad\Longrightarrow\quad a=15.

Passo 3

A equação definida pela soma das distâncias é
\sqrt{(x+8)^{2}+(y-15)^{2}} \;+\; \sqrt{(x-12)^{2}+(y-5)^{2}} \;=\;30.

Passo 4

Isolamos a primeira raiz e elevamos ao quadrado:
\sqrt{(x+8)^{2}+(y-15)^{2}} =30 \;-\;\sqrt{(x-12)^{2}+(y-5)^{2}}.
Ao quadrado:
(x+8)^{2}+(y-15)^{2} =900 \;-\;60\,\sqrt{(x-12)^{2}+(y-5)^{2}} \;+\;(x-12)^{2}+(y-5)^{2}.
Reagrupando e simplificando obtém-se uma relação linear em \sqrt{(x-12)^{2}+(y-5)^{2}}, a saber
-60\,\sqrt{(x-12)^{2}+(y-5)^{2}} =40x-20y-780 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{(x-12)^{2}+(y-5)^{2}} =\frac{-2x+y+39}{3}.

Passo 5

Elevamos novamente ao quadrado para eliminar a raiz remanescente:
\Bigl(\tfrac{-2x + y +39}{3}\Bigr)^{2} =(x-12)^{2}+(y-5)^{2}.
Multiplicando por 9 e expandindo ambos os lados, depois coletando todos os termos em um só lado, chega-se a
-5x^{2}-4xy-8y^{2}+60x+168y=0.

Passo 6

Multiplicando toda a equação por -1 para deixar os coeficientes quadráticos positivos, obtemos a forma final da elipse:
5x^{2}+4xy+8y^{2}-60x-168y=0.

Resposta

A equação da elipse é
5x^{2}+4xy+8y^{2}-60x-168y=0.

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