Uma elipse tem como focos os pontos
e
e passa pela origem do sistema cartesiano. Qual a sua equação? (Resposta:
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma elipse com focos em
e
e que ela passa pela origem
. Como em toda elipse a definição é
precisamos (i) achar
usando o ponto
e (ii) eliminar as raízes para chegar à forma geral da elipse.
Passo 2
No ponto
as distâncias até os focos são
Logo
Passo 3
A equação definida pela soma das distâncias é
Passo 4
Isolamos a primeira raiz e elevamos ao quadrado:
Ao quadrado:
Reagrupando e simplificando obtém-se uma relação linear em
, a saber
Passo 5
Elevamos novamente ao quadrado para eliminar a raiz remanescente:
Multiplicando por
e expandindo ambos os lados, depois coletando todos os termos em um só lado, chega-se a
Passo 6
Multiplicando toda a equação por
para deixar os coeficientes quadráticos positivos, obtemos a forma final da elipse:
Resposta
A equação da elipse é