Calcule a equação da elipse que tem o centro na origem, eixo focal sobre a reta y=2 x, a=2 \sqrt{5}, c=\sqrt{5} e un dos focos em F=(1,2). (Resposta: \left.19 x^{2}-4 x y+16 y^{2}=300\right).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse centrada na origem, com eixo maior apontando na direção da reta y=2x, semi-eixo maior a=2\sqrt{5}, distância focal c=\sqrt{5} e um foco em F=(1,2). Para resolver, vamos usar a forma canônica em eixos rotacionados: se \mathbf u é o vetor unitário na direção do eixo maior e \mathbf v é o vetor unitário perpendicular, então a elipse satisfaz
\frac{(\mathbf u\cdot(x,y))^2}{a^2} \;+\;\frac{(\mathbf v\cdot(x,y))^2}{b^2}=1,
onde b^2=a^2-c^2.

Passo 2

Como o eixo maior segue y=2x, um vetor diretor é (1,2). Seu comprimento é \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}, então o vetor unitário na direção do eixo maior é
\mathbf u=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2).

Passo 3

Calculamos b^2=a^2-c^2=(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{5})^2=20-5=15. Logo b=\sqrt{15}. Também precisamos de \mathbf v, o vetor unitário perpendicular a \mathbf u; basta girar (1,2) em 90^\circ:
\mathbf v=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1).

Passo 4

Na forma canônica rotacionada temos
\frac{(\mathbf u\cdot(x,y))^2}{a^2}+\frac{(\mathbf v\cdot(x,y))^2}{b^2}=1.
Note que
\mathbf u\cdot(x,y)=\frac{x+2y}{\sqrt{5}},\qquad \mathbf v\cdot(x,y)=\frac{-2x+y}{\sqrt{5}},
e a^2=20, b^2=15.

Passo 5

Substituindo e simplificando:
\frac{\bigl((x+2y)/\sqrt{5}\bigr)^2}{20} +\frac{\bigl((-2x+y)/\sqrt{5}\bigr)^2}{15} =1 \;\Longrightarrow\; \frac{(x+2y)^2}{100}+\frac{(-2x+y)^2}{75}=1.
Multiplicando por 300 para eliminar denominadores:
3(x+2y)^2+4(-2x+y)^2=300.
Agora expandimos:
3(x^2+4xy+4y^2)+4(4x^2-4xy+y^2)=300 \;\Longrightarrow\; 19x^2-4xy+16y^2=300.

Resposta

19x^2-4xy+16y^2=300

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