Calcule a equação da elipse que tem o centro na origem, eixo focal sobre a reta
e un dos focos em
. (Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma elipse centrada na origem, com eixo maior apontando na direção da reta
, semi-eixo maior
, distância focal
e um foco em
. Para resolver, vamos usar a forma canônica em eixos rotacionados: se
é o vetor unitário na direção do eixo maior e
é o vetor unitário perpendicular, então a elipse satisfaz
onde
.
Passo 2
Como o eixo maior segue
, um vetor diretor é
. Seu comprimento é
, então o vetor unitário na direção do eixo maior é
Passo 3
Calculamos
. Logo
. Também precisamos de
, o vetor unitário perpendicular a
; basta girar
em
:
Passo 4
Na forma canônica rotacionada temos
Note que
e
,
.
Passo 5
Substituindo e simplificando:
Multiplicando por
para eliminar denominadores:
Agora expandimos: