1. Calcule a distância da parábola y=x^2+1 à reta x-y=2.

Passo 1

O enunciado pede a menor distância entre a parábola y=x^2+1 e a reta x-y=2. O conteúdo envolvido é a fórmula da distância de um ponto até uma reta e a otimização de uma função de uma variável.

Passo 2

Parametrizamos um ponto genérico da parábola como l(x,x^2+1r) e escrevemos a reta em forma ax+by+c=0:
x - y - 2 = 0
A distância de l(x,x^2+1r) até essa reta é
D(x) = l|1cdot x +(-1)cdot(x^2+1) -2r|raiz1^2+(-1)^2 = l|x - x^2-3r|raiz2

Passo 3

No numerador temos
x - x^2-3 = -l(x^2-x+3r)
Como o trinômio x^2-x+3 tem discriminante negativo e é sempre positivo, segue
l|x - x^2-3r| = x^2-x+3
Portanto
D(x) = x^2-x+3raiz2

Passo 4

Para encontrar o mínimo de D(x) basta minimizar o numerador
f(x) = x^2-x+3
Completando o quadrado,
f(x) = l(x-tfrac12r)^2 + tfrac114,
cujo valor mínimo é f(tfrac12)=11/4.

Passo 5

Logo, a menor distância entre a parábola e a reta é
Dmin = tfrac114raiz2 = 114raiz2 = 11raiz28

Resposta

11raiz28

Exercícios relacionados