Um paralelepípedo retângulo, no primeiro octante, possui 3 de suas faces nos planos coordenados. Seu vértice oposto à origem está no plano . Determine esse vértice de tal forma que o paralelepípedo tenha volume máximo.
Passo 1
O enunciado pede para achar o vértice do paralelepípedo de maior volume no primeiro octante, cujas faces estão em , , e cujo vértice oposto à origem pertence ao plano
O conteúdo é otimização com restrição. Vamos definir a função volume e usar o método de substituição (ou Lagrange) para encontrar seu máximo.
Passo 2
Seja o vértice oposto . O volume do paralelepípedo é
Como o vértice satisfaz , podemos isolar
e então escrever
Passo 3
Para achar o máximo interno, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Como queremos e , as condições de interior são
Passo 4
Resolvendo o sistema
podemos dividir a segunda equação por 2 para obter 2x+3y=18. Subtraindo-a da primeira: