1. Um paralelepípedo retângulo, no primeiro octante, possui 3 de suas faces nos planos coordenados. Seu vértice oposto à origem está no plano 4 x+3 y+z=36. Determine esse vértice de tal forma que o paralelepípedo tenha volume máximo.

Passo 1

O enunciado pede para achar o vértice (x,y,z) do paralelepípedo de maior volume no primeiro octante, cujas faces estão em x=0, y=0, z=0 e cujo vértice oposto à origem pertence ao plano
4x+3y+z=36
O conteúdo é otimização com restrição. Vamos definir a função volume e usar o método de substituição (ou Lagrange) para encontrar seu máximo.

Passo 2

Seja o vértice oposto (x,y,z). O volume do paralelepípedo é
V = x,y,z
Como o vértice satisfaz 4x+3y+z=36, podemos isolar
z = 36 - 4x - 3y
e então escrever
V(x,y) = x,y,(36 - 4x - 3y)

Passo 3

Para achar o máximo interno, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Vpartial x = y,(36 - 4x - 3y) + x,y,(-4) = y,(36 - 8x - 3y) =0,
partial Vpartial y = x,(36 - 4x - 3y) + x,y,(-3) = x,(36 - 4x - 6y) =0
Como queremos x>0 e y>0, as condições de interior são
36 - 8x - 3y = 0, 36 - 4x - 6y = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema
8x + 3y = 36, 4x + 6y = 36,
podemos dividir a segunda equação por 2 para obter 2x+3y=18. Subtraindo-a da primeira:
(8x+3y)-(2x+3y)=36-18 ;Longrightarrow; 6x=18 ;Longrightarrow; x=3
Substituindo em 2x+3y=18:
2cdot3+3y=18 ;Longrightarrow; 3y=12 ;Longrightarrow; y=4
Então
z = 36 - 4cdot3 - 3cdot4 = 36 -12 -12 = 12

Resposta

O vértice que maximiza o volume é (3,4,12).

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