Use a transformada de Laplace dada e o resultado do Problema 55 para encontrar a transformada de Laplace indicada. Assuma que a e k são constantes positivas
Lsen t senh t=2 ss^4+4 ; Lsen k t senh k t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de sin(k t),sinh(k t), sabendo que
Lsin t,sinh t(s)=2ss^4+4
O conteúdo principal é a propriedade de escala da transformada de Laplace: se F(s)=Lf(t), então Lf(a t)=1aFl(sar).

Passo 2

Aplicamos essa propriedade com f(t)=sin t,sinh t e a=k. Como
F(s)=Lf(t)(s)=2ss^4+4,
então
Lf(k t)(s) =1k;F!l(tfracskr) =1k;2,(s/k)(s/k)^4+4

Passo 3

Agora simplificamos
1k;2,(s/k)(s/k)^4+4 =2,s/k^2s^4/k^4+4 =2,s/k^2l(s^4+4k^4r)/k^4

Passo 4

Multiplicando numerador e denominador por k^4 obtemos
2,s/k^2(s^4+4k^4)/k^4 =2,s,k^2s^4+4k^4

Resposta

Lsin(k t),sinh(k t)(s) =2,k^2,ss^4+4,k^4

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