(1.5) Calcule a distância d(pi1, pi2) onde pi1: x+y+z=4 e pi2: 2 x+2 y+2 z=-7.

Passo 1

O exercício quer a distância entre as duas retas planas dadas pelas equações pi1: x+y+z=4 e pi2: 2x+2y+2z=-7. O conteúdo aqui é geometria analítica, mais especificamente distância entre planos paralelos, e a gente vai precisar identificar o vetor normal, escrever as equações com o mesmo normal e aplicar a fórmula de distância.

Passo 2

Primeiro a gente confere se os planos são paralelos. O vetor normal de pi1 é n1=(1,1,1) e o de pi2 é n2=(2,2,2). Como n2=2n1, eles são paralelos.

Passo 3

Para usar a fórmula, é mais fácil ter o mesmo vetor normal em ambas as equações. Multiplicamos pi1 por 2:

Passo 4

2x+2y+2z=8

Passo 5

E a pi2 já está como

Passo 6

2x+2y+2z=-7

Passo 7

Agora a fórmula da distância entre planos paralelos ncdot x=d1 e ncdot x=d2 é

Passo 8

d=|d1-d2||n|

Passo 9

Aqui temos d1=8, d2=-7 e n=(2,2,2). Primeiro calculamos a norma:

Passo 10

|(2,2,2)|=raiz2^2+2^2+2^2=raiz12=2raiz3

Passo 11

Substituindo na fórmula:

Passo 12

d=|8-(-7)|2raiz3=152raiz3
Se você quiser racionalizar, dá

Passo 13

d=152raiz3cdotraiz3raiz3=15raiz36=5raiz32

Resposta

dfrac5raiz32

Exercícios relacionados