(1.5) Determine um ponto P da reta r:lx=1-lambda y=lambda z=1 , lambda in R, tal que o ângulo entre o vetor A P, onde A=(1,0,0), e a reta r seja raiz23.

Passo 1

O enunciado quer determinar um ponto P na reta rcolon x=1-lambda,,y=lambda,,z=1 tal que o ângulo entre o vetor AP, onde A=(1,0,0), e a direção de r tenha cosseno igual a raiztfrac23. O conteúdo aqui é produto escalar e norma de vetores.

Passo 2

Como P pertence à reta, a gente usa lambda para parametrizar o ponto. Ficamos com:

Passo 3

P=(1-lambda, lambda, 1)

Passo 4

Calculamos o vetor AP=P-A e identificamos o vetor diretor de r. Lembrando que se vec u=(u1,u2,u3) e vec v=(v1,v2,v3), então vec ucdotvec v=u1v1+u2v2+u3v3 e |vec u|=raizu1^2+u2^2+u3^2.

Passo 5

AP=(-lambda, lambda, 1),

Passo 6

vec d=(-1,1,0)

Passo 7

O cosseno do ângulo theta entre AP e vec d é dado por:

Passo 8

costheta=APcdotvec d|AP|,|vec d|

Passo 9

Substituindo os valores que achamos:

Passo 10

APcdotvec d=2lambda, |AP|=raiz2lambda^2+1, |vec d|=raiz2,

Passo 11

costheta=2lambdaraiz2lambda^2+1,raiz2

Passo 12

Agora a condição do exercício é costheta=raiztfrac23. Igualando e resolvendo fica:

Passo 13

2lambdaraiz2,raiz2lambda^2+1=raiz23Longrightarrowlambda^2=1Longrightarrowlambda=pm1

Passo 14

Como queremos o cosseno positivo, escolhemos lambda=1.

Passo 15

Substituindo lambda=1 em P=(1-lambda,lambda,1), obtemos:

Passo 16

P=(0,1,1)

Resposta

P = (0,1,1)

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