Considere as retas r:lx=2-2 lambda y=4+lambda z=-3 lambda, lambda in R e s:lx=1+lambda y=-2 lambda z=2 lambda , lambda in R.
(a) (1.0) Mostre que as retas são coplanares e concorrentes. Elas são perpendiculares?
(b) (1.0) Determine o ponto de intersecção das retas r e s.
(c) (1.0) Dê uma equação geral equações paramétricas para o plano determinado pelas retas r e s.

Passo 1

E aí, tudo certo? O enunciado é o seguinte: temos duas retas no espaço
r: x=2-2lambda, y=4+lambda, z=-3lambda, s: x=1+mu, y=-2mu, z=2mu,
e o que precisamos é:
(a) mostrar que elas são coplanares e se cruzam (concorrentes) e ver se são perpendiculares;
(b) achar o ponto de intersecção;
(c) escrever a equação geral e as equações paramétricas do plano determinado por essas retas.
Matéria: geometria analítica no espaço. Vamos usar vetores diretores, produto escalar, produto vetorial, resolver sistemas lineares e equação de plano.

Passo 2

Beleza, primeiro a gente extrai as infos principais:
Para r temos ponto
Pr=(2,4,0)e vetor diretor vec vr=(-2,1,-3)
Para s (trocando o parâmetro para mu para não confundir) temos
Ps=(1,0,0)e vetor diretor vec vs=(1,-2,2)

Passo 3

Pra mostrar concorrência (se cruzam) a gente iguala
Pr+lambda,vec vr ;=; Ps+mu,vec vs
o que dá o sistema
2 - 2lambda = 1 + mu, 4 + lambda = -2mu, 0 - 3lambda = 2mu
Da última equação vem mu=-tfrac32lambda. Substituindo na segunda:
4+lambda = -2l(-tfrac32lambdar)=3lambda ;Longrightarrow; 2lambda=4;Longrightarrow;lambda=2;Longrightarrow;mu=-3
Checando na primeira: 2-2cdot2=-2 e 1+(-3)=-2, bateu!
Logo existe ponto de intersecção
P=(-2,6,-6)
Como elas têm esse ponto em comum, são concorrentes e, por consequência, coplanares.

Passo 4

Agora, para ver se são perpendiculares, calculamos o produto escalar dos vetores diretores:
vec vrcdotvec vs =(-2)cdot1 + 1cdot(-2) +(-3)cdot2 = -10 neq 0
Como o resultado não é zero, elas NÃO são perpendiculares.

Passo 5

Para a equação geral do plano que contém r e s basta um ponto P e um vetor normal vec n=vec vrtimesvec vs.
Calculando o produto vetorial:
vec n = vec vrtimesvec vs = i&j&k -2&1&-3 1&-2&2 =(-4,1,3)
A equação do plano é
vec ncdotl((x,y,z)-(-2,6,-6)r)=0 ;Longrightarrow; -4(x+2)+1(y-6)+3(z+6)=0 ;Longrightarrow; -4x+y+3z+4=0

Passo 6

Se você quiser também a forma paramétrica do plano, escolhe o ponto P e combinações de vec vr e vec vs:
(x,y,z)=(-2,6,-6)+s(-2,1,-3)+t(1,-2,2), s,tin R

Resposta

(a) As retas são coplanares e concorrentes (se cruzam em (-2,6,-6)); não são perpendiculares.
(b) Ponto de intersecção: ,(-2,6,-6).
(c) Equação geral do plano: ;-4x+y+3z+4=0;\
Equações paramétricas do plano: (x,y,z)=(-2,6,-6)+s(-2,1,-3)+t(1,-2,2).

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