Considere as retas e s:lx=1+lambda y=-2 lambda z=2 lambda , lambda in R.
(a) (1.0) Mostre que as retas são coplanares e concorrentes. Elas são perpendiculares?
(b) (1.0) Determine o ponto de intersecção das retas r e s.
(c) (1.0) Dê uma equação geral equações paramétricas para o plano determinado pelas retas r e s.
Passo 1
E aí, tudo certo? O enunciado é o seguinte: temos duas retas no espaço
e o que precisamos é:
(a) mostrar que elas são coplanares e se cruzam (concorrentes) e ver se são perpendiculares;
(b) achar o ponto de intersecção;
(c) escrever a equação geral e as equações paramétricas do plano determinado por essas retas.
Matéria: geometria analítica no espaço. Vamos usar vetores diretores, produto escalar, produto vetorial, resolver sistemas lineares e equação de plano.
Passo 2
Beleza, primeiro a gente extrai as infos principais:
Para r temos ponto
Pr=(2,4,0)e vetor diretor vec vr=(-2,1,-3)
Para s (trocando o parâmetro para mu para não confundir) temos
Ps=(1,0,0)e vetor diretor vec vs=(1,-2,2)
Passo 3
Pra mostrar concorrência (se cruzam) a gente iguala
Se você quiser também a forma paramétrica do plano, escolhe o ponto P e combinações de vec vr e vec vs:
(x,y,z)=(-2,6,-6)+s(-2,1,-3)+t(1,-2,2), s,tin R
Resposta
(a) As retas são coplanares e concorrentes (se cruzam em (-2,6,-6)); não são perpendiculares.
(b) Ponto de intersecção: ,(-2,6,-6).
(c) Equação geral do plano: ;-4x+y+3z+4=0;\
Equações paramétricas do plano: (x,y,z)=(-2,6,-6)+s(-2,1,-3)+t(1,-2,2).