Determine se o conjunto de vetores de R^3 são LI ou LD:
S=(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
S = (1,0,0),,(0,1,1),,(1,0,1)
em R^3 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). O conteúdo aqui é o teste de independência linear, que consiste em verificar se a única solução para a combinação
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0 é a solução trivial alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Vamos chamar
v1=(1,0,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1)
e considerar a combinação
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = (0,0,0)
Isto gera um sistema de equações coordenada a coordenada.

Passo 3

Escrevendo cada coordenada igual a zero, obtemos
alpha + gamma = 0, beta = 0, beta + gamma = 0
Da segunda equação beta=0. Substituindo em beta+gamma=0 vem gamma=0. E então alpha+gamma=0 alpha=0.

Passo 4

Como o único triplo (alpha,beta,gamma) que satisfaz o sistema é (0,0,0), concluímos que não existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero. Logo, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente (LI).

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