Calcule a distância entre os planos π_{1} e π_{2} :
π_{1}: 2 x-y+2 z+9=0
π_{2}: 4 x-2 y+4 z-21=0

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos paralelos
\pi_{1}:2x - y + 2z + 9 = 0
e
\pi_{2}:4x - 2y + 4z - 21 = 0.
Para isso, vamos verificar que eles são paralelos (vetores normais proporcionais) e em seguida usar a fórmula
\text{dist} = \frac{\bigl|D_{2}-D_{1}\bigr|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}
válida quando \pi_{1}:Ax+By+Cz+D_{1}=0 e \pi_{2}:Ax+By+Cz+D_{2}=0.

Passo 2

Os vetores normais são
\mathbf{n}_{1}=(2,\,-1,\,2), \quad \mathbf{n}_{2}=(4,\,-2,\,4)=2\,(2,\,-1,\,2)=2\,\mathbf{n}_{1},
logo os planos são paralelos.

Passo 3

Para usar a mesma forma Ax+By+Cz+D=0 em ambos, dividimos a equação de \pi_{2} por 2:
4x-2y+4z-21=0 \;\longrightarrow\; 2x - y + 2z - \frac{21}{2}=0.
Agora as duas equações têm A=2, B=-1, C=2, com
D_{1}=9, \quad D_{2}=-\frac{21}{2}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da distância entre planos paralelos:
d = \frac{\bigl|D_{2}-D_{1}\bigr|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}.

Passo 5

Calculando numerador e denominador:
\bigl|D_{2}-D_{1}\bigr| =\Bigl|-\tfrac{21}{2}-9\Bigr| =\Bigl|-\tfrac{21+18}{2}\Bigr| =\frac{39}{2},
\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=3.
Logo
d = \frac{\tfrac{39}{2}}{3} = \frac{39}{6} = \frac{13}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{2}

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