Calcule a distância entre os planos π_{1} e π_{2} :
π_{1}: x+y+z=0
π_{2}: X=(2,1,2)+λ(-1,0,3)+μ(1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos
\pi_{1}:x+y+z=0
e
\pi_{2} dado em forma paramétrica
\mathbf{X}=(2,1,2)+\lambda(-1,0,3)+\mu(1,1,0).
Para planos paralelos a distância é
d = \frac{\bigl|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\bigr|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}},
mas se não forem paralelos eles se cortam e a distância é zero.

Passo 2

Vamos achar o vetor normal de \pi_{2}. Sejam
\mathbf{v}=(-1,0,3) e \mathbf{w}=(1,1,0).
Então
\mathbf{n}_{2} = \mathbf{v}\times\mathbf{w} = \bigl(0\cdot0 - 3\cdot1,\;3\cdot1 -(-1)\cdot0,\;(-1)\cdot1 - 0\cdot1\bigr) = (-3,\,3,\,-1).

Passo 3

Em forma cartesiana, \pi_{2} satisfaz
\mathbf{n}_{2}\cdot\bigl((x,y,z)-(2,1,2)\bigr)=0.
Isso dá
-3(x-2)+3(y-1)-1(z-2)=0 \;\Longrightarrow\; -3x+6+3y-3 -z+2=0 \;\Longrightarrow\; 3x-3y+z-5=0.

Passo 4

O vetor normal de \pi_{1} é \mathbf{n}_{1}=(1,1,1). Como \mathbf{n}_{2}=(-3,3,-1) não é múltiplo escalar de \mathbf{n}_{1}, os planos não são paralelos e, portanto, se intersectam.

Passo 5

Quando dois planos se intersectam, a distância entre eles vale zero, pois há pontos comuns.

Resposta

A distância entre \pi_{1} e \pi_{2} é 0.

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