Calcule a distância entre os planos π_{1} e π_{2} :
π_{1}: x+y+z=0
π_{2}: X=(2,0,0)+λ(-1,0,1)+μ(-1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos
\pi_{1}:x+y+z=0 e um plano \pi_{2} dado em forma paramétrica
\pi_{2}:X=(2,0,0)+\lambda(-1,0,1)+\mu(-1,1,0).
O conteúdo aqui é reconhecimento de planos paralelos e aplicação da fórmula de distância entre planos paralelos. Para isso precisamos (a) achar o vetor normal de \pi_{2}, (b) escrever sua equação na forma n\cdot X+D=0 e (c) usar
d=\frac{|D_{2}-D_{1}|}{\|n\|}.

Passo 2

Para \pi_{2}, dois vetores diretores são
v_{1}=(-1,0,1),\quad v_{2}=(-1,1,0).
O vetor normal \vec n_{2} é dado pelo produto vetorial
\vec n_{2}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =(-1,-1,-1).
Como podemos multiplicar por -1 sem alterar a direção, escolhemos
\vec n=(1,1,1), que é paralelo ao normal de \pi_{1}.

Passo 3

Escrevendo \pi_{2} na forma
\vec n\cdot X + D = 0,
substituímos o ponto X_{0}=(2,0,0) que pertence a \pi_{2}:
1\cdot2 + 1\cdot0 + 1\cdot0 + D = 0
2 + D = 0
Logo D=-2 e a equação de \pi_{2} fica
\pi_{2}:x+y+z-2=0.

Passo 4

Como \pi_{1}:x+y+z+0=0 e \pi_{2}:x+y+z-2=0 têm o mesmo vetor normal \vec n=(1,1,1), a distância entre elas é
d=\frac{\bigl|(-2)-0\bigr|}{\|\,(1,1,1)\|\;} =\frac{2}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}} =\frac{2}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}

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