Verifique se S=\{(x, x)\}, x \in \mathbb{R}\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}?

Passo 1

O enunciado define
S = \{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\}
como um subconjunto de \mathbb{R}^2. Queremos verificar se S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Para isso, usamos a definição que exige:
  1. S não vazio (contém o vetor zero).
  2. Fechamento sob soma de vetores.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) pertence a S. Basta escolher x=0, pois (0,0)=(x,x) com x=0. Logo, (0,0)\in S, e S não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam (x,x)\in S e (y,y)\in S. Então
(x,x)+(y,y) = (x+y,\;x+y).
Como x+y\in\mathbb{R}, o resultado é da forma (z,z) com z=x+y, logo (x+y,x+y)\in S. Assim, S é fechado sob soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja (x,x)\in S e \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha\,(x,x) = (\alpha x,\;\alpha x).
Como \alpha x\in\mathbb{R}, o vetor resultante está em S. Portanto, S é fechado sob multiplicação por escalares.

Resposta

S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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