Calcule a distância entre os planos pi1: x+y+ z=5 / 2 e X=(2,0,0)+lambda(-1,0,1)+mu(-1,1,0).

Passo 1

O enunciado nos dá o plano
pi1: x+y+z=tfrac52
e o plano paramétrico
X:;(2,0,0)+lambda(-1,0,1)+mu(-1,1,0)
O objetivo é calcular a distância entre esses dois planos paralelos. Para isso, precisamos (a) obter a equação cartesiana do plano X, (b) verificar que seus vetores normais coincidem (até fator escalar) e (c) aplicar a fórmula da distância entre planos paralelos.

Passo 2

Para achar a equação de X escrevemos dois vetores diretores
vec v1=(-1,0,1) e vec v2=(-1,1,0)
e calculamos um vetor normal via produto vetorial:
vec n = vec v1times vec v2 = i & j & k -1 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 =(-1,-1,-1)

Passo 3

Usando o ponto (2,0,0) e vec n=(-1,-1,-1), a forma cartesiana de X é
-1(x-2)-1(y-0)-1(z-0)=0 ;Longrightarrow;x+y+z=2
Logo chamamos esse plano de pi2:x+y+z=2.

Passo 4

As normas de pi1 e pi2 são proporcionais, pois ambas têm vetor normal paralelo a (1,1,1). Então são planos paralelos e podemos aplicar a fórmula
dist(pi1,pi2) =l|d1-d2r|raiza^2+b^2+c^2,
onde pi1:x+y+z-tfrac52=0 e pi2:x+y+z-2=0, isto é a=b=c=1, d1=-tfrac52, d2=-2.

Passo 5

Calculando a distância:
dist=l|-tfrac52-(-2)r|raiz1^2+1^2+1^2 =l|-tfrac12r|raiz3 =12raiz3 =raiz36

Resposta

A distância entre os planos é raiz36.

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