Calcule a distância entre os planos pi1: 2 x+y-3 z=6 e pi2:-4 x-2 y+6 z=-18.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos
pi1:2x+y-3z=6 e pi2:-4x-2y+6z=-18.
Este é um problema de distância entre planos paralelos; vamos usar a fórmula que dá a distância em função dos termos independentes quando os planos têm o mesmo vetor normal.

Passo 2

Primeiro, verificamos o paralelismo dos planos pelos seus vetores normais:
,n1=(2,1,-3) para pi1 e
,n2=(-4,-2,6)=-2,(2,1,-3) para pi2.
Como são paralelos, multiplicamos a equação de pi2 por -tfrac12, obtendo
- tfrac12(-4x-2y+6z)-tfrac12(-18)=0
Ao distribuir e simplificar, fica
2x+y-3z-9=0

Passo 3

Agora escrevemos as duas equações na forma
2x+y-3z + d1 =0 e 2x+y-3z + d2 =0,
onde, para pi1, d1=-6 (pois 2x+y-3z-6=0) e para a versão ajustada de pi2, d2=-9.

Passo 4

A fórmula da distância entre planos paralelos é
dist = lvert d2 - d1rvertraiz2^2+1^2+(-3)^2
Aqui lvert d2 - d1rvert = lvert -9 - (-6)rvert = 3 e
raiz2^2+1^2+(-3)^2 = raiz14,
logo
dist = 3raiz14

Resposta

3raiz14

Exercícios relacionados