Uma elipse possui focos
e
e vértices
e
, em que
(fixo). Calcule a área do quadrado inscrito na elipse.
Passo 1
O enunciado nos dá uma elipse com focos em
e
e vértices em
e
. O conteúdo aqui é geometria de cônicas: vamos identificar os semieixos
e
da elipse e depois inscrever um quadrado de lado
de modo que seus vértices toquem a elipse.
Passo 2
Pelo vértice temos o semieixo maior
Pela distância entre centro e foco temos
Na elipse vale a relação
logo
portanto
Passo 3
A equação canônica da elipse é
Passo 4
Vamos inscrever um quadrado cujos lados sejam paralelos aos eixos e cujo vértice no primeiro quadrante seja
. Então o quadrado tem lados de comprimento
pois para cada vértice vale
. Substituindo
na equação da elipse:
Logo o lado do quadrado é
Passo 5
A área do quadrado é