Uma elipse possui focos F1=(-raiz3 m, 0) e F2=(raiz3 m, 0) e vértices A1=(-2 m, 0) e A2=(2 m, 0), em que m in R (fixo). Calcule a área do quadrado inscrito na elipse.

Passo 1

O enunciado nos dá uma elipse com focos em l(-raiz3m,0r) e l(raiz3m,0r) e vértices em l(-2m,0r) e l(2m,0r). O conteúdo aqui é geometria de cônicas: vamos identificar os semieixos a e b da elipse e depois inscrever um quadrado de lado s de modo que seus vértices toquem a elipse.

Passo 2

Pelo vértice temos o semieixo maior
a = 2m
Pela distância entre centro e foco temos
c = raiz3,m
Na elipse vale a relação
b^2 = a^2 - c^2,
logo
b^2 = (2m)^2 - (raiz3,m)^2 = 4m^2 - 3m^2 = m^2,
portanto
b = m

Passo 3

A equação canônica da elipse é
x^2a^2 + y^2b^2 = 1 Longrightarrow x^24m^2 + y^2m^2 = 1

Passo 4

Vamos inscrever um quadrado cujos lados sejam paralelos aos eixos e cujo vértice no primeiro quadrante seja l(x0,y0r). Então o quadrado tem lados de comprimento
s = 2x0 = 2y0
pois para cada vértice vale x0=y0. Substituindo l(x0,x0r) na equação da elipse:
x0^24m^2 + x0^2m^2 = 1 Longrightarrow x0^2l(tfrac14m^2 + tfrac1m^2r)=1 Longrightarrow x0^254m^2=1
Longrightarrow x0^2 = 4m^25 Longrightarrow x0 = 2mraiz5
Logo o lado do quadrado é
s = 2x0 = 4mraiz5

Passo 5

A área do quadrado é
s^2 = l(4mraiz5r)^2 = 16m^25

Resposta

165,m^2

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