Uma hipérbole tem centro na origem, um dos vértices no ponto (2 m, 0) e uma extremidade do eixo imaginário no ponto (0, m), em que m in R (fixo). Calcule a área do retângulo cujos pontos médios dos lados são os vértices e as extremidades do eixo imaginário.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma hipérbole centrada na origem, com vértices reais em (pm2m,0) e vértices imaginários em (0,pm m). O conteúdo aqui é geometria analítica de hipérboles e a construção de retângulo cujos pontos médios dos lados são exatamente esses quatro pontos dados.

Passo 2

Como a hipérbole padrão é
x^2a^2-y^2b^2=1,
os vértices reais ficam em (pm a,0) e os imaginários em (0,pm b). Como nos deram (2m,0) e (0,m), concluímos
a=2m, b=m

Passo 3

Chamemos esses quatro pontos de P1=(2m,0), P2=(0,m), P3=(-2m,0) e P4=(0,-m). Diz-se que esses são os pontos médios dos lados de um retângulo ABCD. Pela propriedade de Varignon, o quadrilátero P1P2P3P4 é um paralelogramo cuja área é metade da área de ABCD.

Passo 4

Basta então calcular a área do paralelogramo P1P2P3P4. Tomando como vetores dois lados adjacentes
P1P2=(-2m,;m), P1P4=(-2m,;-m),
temos
Áreaparal =l|det -2m & -2m m & -m r| =l|(-2m)(-m)-m(-2m)r| =4m^2 Á

Passo 5

Como a área do paralelogramo de Varignon é metade da área do retângulo buscado, concluímos
Árearetângulo =2cdot Áreaparal =2cdot 4m^2 =8m^2 ÁâÁ

Resposta

A área do retângulo é 8m^2.

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