Uma hipérbole tem centro na origem, um dos vértices no ponto e uma extremidade do eixo imaginário no ponto , em que (fixo). Calcule a área do retângulo cujos pontos médios dos lados são os vértices e as extremidades do eixo imaginário.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma hipérbole centrada na origem, com vértices reais em e vértices imaginários em . O conteúdo aqui é geometria analítica de hipérboles e a construção de retângulo cujos pontos médios dos lados são exatamente esses quatro pontos dados.
Passo 2
Como a hipérbole padrão é
os vértices reais ficam em e os imaginários em . Como nos deram e , concluímos
Passo 3
Chamemos esses quatro pontos de , , e . Diz-se que esses são os pontos médios dos lados de um retângulo . Pela propriedade de Varignon, o quadrilátero é um paralelogramo cuja área é metade da área de .
Passo 4
Basta então calcular a área do paralelogramo . Tomando como vetores dois lados adjacentes
temos
Áreaparal =l|det -2m & -2m m & -m r| =l|(-2m)(-m)-m(-2m)r| =4m^2 Á
Passo 5
Como a área do paralelogramo de Varignon é metade da área do retângulo buscado, concluímos