Determine as equações das retas que passam pelo ponto P=(5,0) e são tangentes à parábola de equação x=-y^2.

Passo 1

O enunciado pede as retas que passam por P=(5,0) e são tangentes à parábola de equação
x=-y^2
O conteúdo aqui é encontrar retas que toquem a parábola em exatamente um ponto. Para isso vamos:
  1. Escrever a equação geral de uma reta que passe por P usando o parâmetro m (sua inclinação).
  2. Substituir essa reta na equação da parábola para obter uma equação em y.
  3. Impor que ela tenha raiz dupla (discriminante zero) para garantir tangência.
  4. Determinar os valores de m e, então, as duas retas.

Passo 2

Escrevemos a reta que passa por P=(5,0) com inclinação m na forma ponto–inclinação:
y = m,(x-5)

Passo 3

Como na parábola x=-y^2, substituímos x em y = m(x-5):
y = ml(-y^2-5r) Longrightarrow y = -m,y^2 - 5m
Reorganizando em função de y:
m,y^2 + y + 5m = 0

Passo 4

Para que a reta seja tangente à parábola, essa equação quadrática em y deve ter discriminante nulo:
De<a = 1 - 4,(m)(5m) = 1 - 20m^2 = 0 Longrightarrow 20m^2 = 1 Longrightarrow m = pm 1raiz20 = pm 12raiz5

Passo 5

Para m = 12raiz5, a reta é
y = 12raiz5,(x-5) Long<=ftrightarrow x - 2raiz5,y - 5 = 0
Para m = -12raiz5, a reta é
y = -12raiz5,(x-5) Long<=ftrightarrow x + 2raiz5,y - 5 = 0

Resposta

As retas são
x - 2raiz5,y - 5 = 0 e x + 2raiz5,y - 5 = 0

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