Determine as equações das retas que passam pelo ponto
e são tangentes à parábola de equação
.
Passo 1
O enunciado pede as retas que passam por
e são tangentes à parábola de equação
O conteúdo aqui é encontrar retas que toquem a parábola em exatamente um ponto. Para isso vamos:
- Escrever a equação geral de uma reta que passe por
usando o parâmetro (sua inclinação). - Substituir essa reta na equação da parábola para obter uma equação em
. - Impor que ela tenha raiz dupla (discriminante zero) para garantir tangência.
- Determinar os valores de
e, então, as duas retas.
Passo 2
Escrevemos a reta que passa por
com inclinação
na forma ponto–inclinação:
Passo 3
Como na parábola
, substituímos
em
:
Reorganizando em função de
:
Passo 4
Para que a reta seja tangente à parábola, essa equação quadrática em
deve ter discriminante nulo:
Passo 5
Para
, a reta é
Para
, a reta é
Resposta
As retas são