Calcule as seguintes integrais iteradas sobre o retângulo R dado:
\iint_{R}\left(y+x y^{-2}\right) d A, \quad R=[0,2] \times[1,2].

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla da função \,f(x,y)=y + x\,y^{-2} sobre o retângulo
R = [0,2]\times[1,2].
O conteúdo é cálculo de integrais duplas em retângulo, que se faz convertendo em integral iterada e integrando sucessivamente em cada variável.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada, integrando primeiro em x (onde y é tratado como constante) e depois em y:
\iint_{R}(y + x\,y^{-2})\,dA = \int_{y=1}^{2}\Bigl[\int_{x=0}^{2}(y + x\,y^{-2})\,dx\Bigr]dy.

Passo 3

Calculemos a integral interna em x:
\int_{0}^{2}(y + x\,y^{-2})\,dx = \int_{0}^{2}y\,dx \;+\;\int_{0}^{2}x\,y^{-2}\,dx = y\bigl[x\bigr]_{0}^{2} \;+\; y^{-2}\bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{2}.
Isso resulta em
2y \;+\; y^{-2}\cdot\tfrac{4}{2} = 2y + 2\,y^{-2}.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{1}^{2}(2y + 2\,y^{-2})\,dy = \int_{1}^{2}2y\,dy \;+\;\int_{1}^{2}2y^{-2}\,dy = \bigl[y^{2}\bigr]_{1}^{2} + 2\bigl[-\,y^{-1}\bigr]_{1}^{2}.
Calculando cada termo:
\bigl[y^{2}\bigr]_{1}^{2} = 4 - 1 = 3, \quad 2\bigl[-\,y^{-1}\bigr]_{1}^{2} = 2\bigl(-\tfrac12 + 1\bigr) = 2\cdot\tfrac12 = 1.
Somando, obtemos 3 + 1 = 4.

Resposta

\iint_{R}(y + x\,y^{-2})\,dA = 4.

Exercícios relacionados