Calcule a distância do ponto C(2,1,3) à reta r que passa pelos pontos A(1,5,1) e B(2,0,-1).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Pontos fornecidos:
    • A(1,5,1)
    • B(2,0,-1)
    • C(2,1,3)
  • Pergunta: calcular a distância do ponto C à reta r que passa por A e B.
  • Informação útil que vem do enunciado: a reta r é determinada pelo segmento \overline{AB}.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Em geometria vetorial 3D, uma forma prática de obter a distância do ponto C à reta por A e B é usar vetores. Definindo os vetores
    • \vec{AB} = \overrightarrow{AB} = B - A (vetor diretor da reta),
    • \vec{AC} = \overrightarrow{AC} = C - A,
      a distância buscada é o comprimento da componente de \vec{AC} perpendicular a \vec{AB}.
  • Uma fórmula elegante para essa distância é
d=\frac{\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|}{\|\vec{AB}\|}.
  • Aqui \times é o produto vetorial (cross product) entre vetores em \mathbb{R}^3.
  • \|\cdot\| denota a norma (comprimento) de um vetor.
  • Justificativa curta: \|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta é a área do paralelogramo com lados \vec{AB} e \vec{AC}; dividindo por \|\vec{AB}\| fica \|\vec{AC}\|\sin\theta, que é exatamente a distância perpendicular do ponto C à reta.

Passo 3

Calcular os vetores \vec{AB} e \vec{AC} (subtração coordenada a coordenada):
  • \vec{AB}=B-A=(2-1,\;0-5,\;-1-1)=(1,\,-5,\,-2).
  • \vec{AC}=C-A=(2-1,\;1-5,\;3-1)=(1,\,-4,\;2).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC}.
  • Usando a fórmula componente a componente, para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) vale
\vec{a}\times\vec{b} = \big(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\big).
  • Aplicando com \vec{a}=\vec{AB}=(1,-5,-2) e \vec{b}=\vec{AC}=(1,-4,2):
    • componente x: a_2 b_3 - a_3 b_2 = (-5)\cdot 2 - (-2)\cdot(-4) = -10 - 8 = -18.
    • componente y: a_3 b_1 - a_1 b_3 = (-2)\cdot 1 - 1\cdot 2 = -2 - 2 = -4.
    • componente z: a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1\cdot(-4) - (-5)\cdot 1 = -4 + 5 = 1.
  • Logo
\vec{AB}\times\vec{AC}=(-18,\,-4,\;1).

Passo 5

Calcular a norma do produto vetorial \|\vec{AB}\times\vec{AC}\|:
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=\sqrt{(-18)^2+(-4)^2+1^2}=\sqrt{324+16+1}=\sqrt{341}.

Passo 6

Calcular a norma de \vec{AB}:
\|\vec{AB}\|=\sqrt{1^2+(-5)^2+(-2)^2}=\sqrt{1+25+4}=\sqrt{30}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância:
d=\frac{\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|}{\|\vec{AB}\|=\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{341}}{\sqrt{30}}=\sqrt{\frac{341}{30}}.
Valor numérico aproximado (útil para conferir):
d\approx 3,371034\ldots

Resposta

\displaystyle \sqrt{\dfrac{341}{30}} \approx 3,371034

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