(3 pontos) Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow-1} f(x), com f(x)=\left\{\begin{aligned} 5 x+5 & \text { se } x \leq-1 \\\ \frac{x^{2}-1}{x^{2}+4 x+3} & \text { se } x>-1 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 5x+5 & \text{se } x\le -1,\\[4pt] \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+4x+3} & \text{se } x>-1. \end{cases}
A pergunta é: determinar o limite
\lim_{x\to -1} f(x),
se ele existir. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para pontos à esquerda de -1 (isto é, x<-1) e também em x=-1 a expressão válida é 5x+5.
  • Para pontos à direita de -1 (isto é, x>-1) a expressão válida é \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+4x+3}.
  • O valor da função em x=-1 é dado pela peça 5x+5 com x=-1, se for necessário usá-lo.]

Passo 2

Regra prática usada (explicação didática): para existir \lim_{x\to -1} f(x) é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to -1^-} f(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to -1^+} f(x).
Vou calcular primeiro o limite pela esquerda \lim_{x\to -1^-} f(x) usando a expressão válida para x\le -1, e depois o limite pela direita \lim_{x\to -1^+} f(x) usando a expressão válida para x>-1. Se os dois resultados coincidirem, esse será o limite; se não coincidirem, o limite não existe.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to -1^-} f(x).
Para x\le -1 a função é f(x)=5x+5. Linear (polinomial) é função contínua em todo ponto, então o limite ao nos aproximarmos de -1 pela esquerda é simplesmente o valor obtido por substituição:
\lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^-}(5x+5)=5(-1)+5= -5+5=0.
Portanto \lim_{x\to -1^-} f(x)=0.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to -1^+} f(x).
Para x>-1 a função é
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+4x+3}.
Antes de tentar substituir x=-1, fatoro numerador e denominador para ver se há simplificação:
x^{2}-1=(x-1)(x+1), \qquad x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3).
Logo, para x\neq -1 (o que é verdade ao nos aproximarmos de -1 pela direita), pode-se cancelar o fator (x+1):
\frac{x^{2}-1}{x^{2}+4x+3}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+3)}=\frac{x-1}{x+3}\qquad (x\neq -1).
Agora esta nova expressão é contínua em x=-1, então podemos substituir:
\lim_{x\to -1^+} f(x)=\lim_{x\to -1^+}\frac{x-1}{x+3}=\frac{-1-1}{-1+3}=\frac{-2}{2}=-1.
Portanto \lim_{x\to -1^+} f(x)=-1.

Passo 5

Comparação dos limites laterais e conclusão.
Encontramos
\lim_{x\to -1^-} f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -1^+} f(x)=-1.
Como os dois limites laterais são diferentes ( 0\neq -1), a condição necessária e suficiente para a existência de \lim_{x\to -1} f(x) não é satisfeita. Logo, o limite não existe.
Observação extra (útil para prova): o valor da função em -1 é f(-1)=5(-1)+5=0, ou seja, igual ao limite pela esquerda mas diferente do limite pela direita — isso caracteriza uma descontinuidade do tipo salto (jump) em x=-1.

Resposta

\lim_{x\to -1} f(x) não existe.

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