(3 pontos) Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite
Informações dadas: a expressão é um polinômio em
de grau
, com coeficientes reais. O ponto para onde
tende é
. Não há outras condições.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (resumida): para polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento quando
. Vamos escrever o polinômio factorizando
para separar a parte que cresce sem limite de uma parte que tende a uma constante. Escrevendo:
Aqui a ideia é estudar separadamente o fator
, que tende a
quando
, e o fator entre parênteses, que deve tender a uma constante.
Passo 3
Cálculo do limite do fator entre parênteses. Avaliar
Explicação didática: quando
temos que
e
. Uma razão com numerador constante e denominador que tende a
tende a
. Assim
Como soma e diferença de limites (quando existem) são limites das somas e diferenças, segue
Passo 4
Argumento que combina os dois fatores para obter o limite final. Já sabemos que
Como o segundo limite é um número positivo (
), existe
tal que, para todo
,
Para esses
então
Como
quando
, a expressão à direita tende a
; portanto a expressão original também tende a
.
Passo 5
Conclusão final e interpretação intuitiva: o termo
domina o polinômio para
, e como o coeficiente
é positivo e
cresce sem limite, o polinômio todo cresce sem limite para
.