(3 pontos) Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(3 x^{3}-2 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(3x^{3}-2x+1\right).
Informações dadas: a expressão é um polinômio em x de grau 3, com coeficientes reais. O ponto para onde x tende é +\infty. Não há outras condições.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (resumida): para polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento quando x\to\pm\infty. Vamos escrever o polinômio factorizando x^{3} para separar a parte que cresce sem limite de uma parte que tende a uma constante. Escrevendo:
3x^{3}-2x+1 = x^{3}\!\left(3 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right).
Aqui a ideia é estudar separadamente o fator x^{3}, que tende a +\infty quando x\to+\infty, e o fator entre parênteses, que deve tender a uma constante.

Passo 3

Cálculo do limite do fator entre parênteses. Avaliar
\lim_{x\to+\infty}\left(3 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right).
Explicação didática: quando x\to+\infty temos que x^{2}\to+\infty e x^{3}\to+\infty. Uma razão com numerador constante e denominador que tende a +\infty tende a 0. Assim
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x^{2}}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{3}}=0.
Como soma e diferença de limites (quando existem) são limites das somas e diferenças, segue
\lim_{x\to+\infty}\left(3 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right)=3-0+0=3.

Passo 4

Argumento que combina os dois fatores para obter o limite final. Já sabemos que
x^{3}\to+\infty\quad\text{e}\quad\left(3 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right)\to 3.
Como o segundo limite é um número positivo ( 3), existe M>0 tal que, para todo x>M,
3 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} > \frac{3}{2}.
Para esses x então
3x^{3}-2x+1 = x^{3}\!\left(3 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right) > x^{3}\cdot\frac{3}{2}.
Como x^{3}\to+\infty quando x\to+\infty, a expressão à direita tende a +\infty; portanto a expressão original também tende a +\infty.

Passo 5

Conclusão final e interpretação intuitiva: o termo 3x^{3} domina o polinômio para x\to+\infty, e como o coeficiente 3 é positivo e x^{3} cresce sem limite, o polinômio todo cresce sem limite para +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados