Calcule a distância do ponto de intersecção de
e
ao plano determinado por
e
, onde
.
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos achar a distância do ponto de interseção de duas retas r e s até o plano determinado por duas retas paralelas t₁ e t₂. O conteúdo envolvido é a interseção de retas no espaço, a obtenção da equação de um plano a partir de duas retas paralelas e, por fim, a aplicação da fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Interseção de r e s: escrevemos as retas parametricamente e igualamos coordenadas. Para r:
e para s:
. Igualando x e y, obtemos
e
, o que dá
e
. Substituindo em z confirmamos
. Logo a interseção é o ponto
.
Passo 3
Equação do plano contendo t₁ e t₂:
• Para t₁ temos ponto e vetor diretor
.
• Para t₂, das equações e
obtemos a parametrização
, logo escolhemos ponto
e vetor diretor também
.
• Como as retas são paralelas, usamos o vetor de ligação e o vetor diretor
para achar o normal do plano por produto vetorial:
• Para t₁ temos ponto
• Para t₂, das equações
• Como as retas são paralelas, usamos o vetor de ligação
que simplificado dá
Passo 4
Distância de P ao plano: aplicamos a fórmula