Calcule a distância do ponto de intersecção de r e s ao plano determinado por t1 e t2, onde r:(x, y, z)=(1,3,4)+lambda(1,2,3), s:(x, y, z)=(1,1,0)+lambda(-1,0,1), t1:(x, y, z)=(0,1,0)+lambda(0,6,1) e t2: x=y-6 z+8=2 x-3.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos achar a distância do ponto de interseção de duas retas r e s até o plano determinado por duas retas paralelas t₁ e t₂. O conteúdo envolvido é a interseção de retas no espaço, a obtenção da equação de um plano a partir de duas retas paralelas e, por fim, a aplicação da fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Interseção de r e s: escrevemos as retas parametricamente e igualamos coordenadas. Para r: (x,y,z)=(1+lambda,3+2lambda,4+3lambda) e para s: (x,y,z)=(1-mu,1,mu). Igualando x e y, obtemos 1+lambda=1-mu e 3+2lambda=1, o que dá lambda=-1 e mu=1. Substituindo em z confirmamos z=1. Logo a interseção é o ponto P=(0,1,1).

Passo 3

Equação do plano contendo t₁ e t₂:
• Para t₁ temos ponto P1=(0,1,0) e vetor diretor v=(0,6,1).
• Para t₂, das equações x=y-6z+8 e y-6z+8=2x-3 obtemos a parametrização (x,y,z)=(3, -5,0)+t(0,6,1), logo escolhemos ponto Q=(3,-5,0) e vetor diretor também v=(0,6,1).
• Como as retas são paralelas, usamos o vetor de ligação u=Q-P1=(3,-6,0) e o vetor diretor v para achar o normal do plano por produto vetorial:
n=vtimes u=(0,6,1)times(3,-6,0)=(6,3,-18),
que simplificado dá (2,1,-6). Tomando o ponto P1, a equação do plano fica:
2x+y-6z-1=0

Passo 4

Distância de P ao plano: aplicamos a fórmula
dist = |2cdot0 +1cdot1 -6cdot1 -1|raiz2^2+1^2+(-6)^2 = 6raiz41

Resposta

dfrac6raiz41

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