Obtenha uma equação geral do plano pi que contém o ponto P e é perpendicular à reta r :
P=(1,1,-1) e rx-2 y+z=0 2 x-3 y+z-1=0

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano π que passa por P=(1,1,−1) e é perpendicular à reta r dada pela interseção dos planos x−2y+z=0 e 2x−3y+z−1=0. O conteúdo envolvido é geometria analítica: plano e reta perpendicular. Vamos precisar do vetor diretor de r e da forma geral da equação de um plano.

Passo 2

Os planos que definem r têm normais vec n1=(1,-2,1) e vec n2=(2,-3,1). O vetor diretor de r é o produto vetorial dessas normais:
vec d=vec n1timesvec n2=(1,-2,1)times(2,-3,1)=(1,1,1)

Passo 3

Como π é perpendicular a r, seu vetor normal vec n é paralelo a vec d=(1,1,1). Podemos então escolher vec n=(1,1,1). A forma geral do plano com normal (a,b,c) que passa por (x0,y0,z0) é
$$
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.$$

Passo 4

Substituindo a=b=c=1 e (x0,y0,z0)=(1,1,-1) obtemos:
$$
1(x-1)+1(y-1)+1(z+1)=0$$
Expandindo, resulta
x-1 + y-1 + z+1 = 0
ou seja
x + y + z -1 = 0

Resposta

x + y + z - 1 = 0

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